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『C#』如何用递归计算斐波那契数列的第 100000 项?

『C#』如何用递归计算斐波那契数列的第 100000 项?

作者: ToBinary | 来源:发表于2019-04-22 19:30 被阅读0次

    本文最后更新于 2019年 5月 1号 下午 6点 36分,并同步发布于 :


    斐波那契数列

    声明 : 请不要使用本文的代码直接用于实际项目,本文的目的是以这个示例给读者提供一点编程上的思路

    本文假设读者有对如下概念有所了解 :


    如何用递归计算斐波那契数列的第 100000 项 ?
    有的同学可能会说 : 那还不简单, 不到一分钟便写出了如下代码 :

    public static int Fibonacci(int n)
    {
        if (n == 1 || n == 2)
        {
            return 1;
        }
        return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
    }
    

    或者 :

    public static int Fibonacci(int n)
        => n <= 2
        ? 1
        : Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
    

    先测试一下斐波那契数列的第 10 项试试 :


    再试试第 50 项 :

    结果竟然是负数 ? 不过仔细一想, 是因为结果值超出了 int 类型的存储范围。而且用了 一分多钟 的时间 !

    100 项呢 :
    emmmmmmm... ... 由于我生命有限, 就不测试这个了, 估计我睡完一觉了还没得出结果 orz

    如果计算更大的项时, 很可能出现下面的情况 : (具体多大的项 因电脑配置而异)


    程序计算比较大的项时, 发生了 堆栈溢出 异常。

    递归计算斐波那契数列时, 函数调用的次数是 指数级 增加的


    在解决问题之前我们先看一下递归求斐波那契数列的函数调用情况 :

    可以看到, 在计算结果时, 出现了很多重复计算
    这也是为什么计算比较大的项时, 用时非常长

    将值缓存起来

    那么应该如何改写上面写的函数呢 ?
    我们可以通过把已经计算过的值存储在一个容器中, 等下次需要计算时, 直接从中取值。
    这样可以大幅度的减少函数递归调用的次数

    当然还有一个问题 :
    计算比较大的项时, 值可能非常大, 超出了所有C#内置的基本整数类型的最大存储范围。
    所以我们需要使用 System.Numerics 命名空间下的大整数类型 : BigInteger, 这个类型可以存储任意大的整数。当然也可以自己手写一个大整数类型。至于怎么写一个大整数类型,不在本文的讨论范围。

    .NET framework 程序需要添加程序集引用: System.Numerics.dll


    现在开始修改刚刚写的递归函数


    修改之后的 Fibonacci 函数

    这样的话, 就避免了大量的重复计算。

    先试试计算斐波那契数列的第 50 项 :

    仅仅用了 10 毫秒 !

    再试试第 5000 项呢 ?

    仅仅用了 19 毫秒 ! 第 5000 项的值已经非常非常大了

    虽然使用缓存避免了大量的重复计算,使得计算时间大幅降低
    但是需要计算的项非常大时, 调用栈还是会发生溢出 !

    渐进式计算 :

    前面我们通过把中间结果缓存到集合中,以避免重复计算,也就是说 :
    如果前 5000 项已经计算过,那么再计算第 5001 项时,只需一次计算 (第 5000 项和第 4999 项相加)

    现在假设计算第 6000 项时会发生 栈溢出,那么我们可以 :

    1. 先计算第 5000 项 ( 不会 栈溢出)
    2. 再计算第 6000 项 ( 也不会 发生栈溢出 !)

    因为前 5000 项已经被缓存到集合中,所以再计算第 6000 项时,只需计算第 5001 ~ 6000 项。

    那么我们需要计算第 100000 (十万) 项呢 ?

    1. 计算第 5000
    2. 计算第 10000
    3. 计算第 15000
    4. 计算第 20000
      ... ...

    以此类推
    最后计算第 100000

    现在我们修改上面的代码,使得能计算 任意大 的项 (只要运行内存够大):

    .NET Framework 4.0 及以下版本,单个对象不能大于 2GB

    修改之后的 Fibonacci 函数

    使用上图中的代码计算斐波那契数列的第 100000 (十万)项 :

    斐波那契数列的第十万项的值
    这是一个 20900 位的整数,用时 0.9

    如果想达到这样的效果, 又不想在外面定义一个类成员怎么办?

    • 可以把缓存结果值的容器直接放在函数中,

      但是每次调用函数时, 都会创建一个集合对象, 开销会比较大。

    • 使用 闭包

    使用闭包延长局部变量的生命周期 :

    Fibonacci 函数执行结束时, cache 这个局部变量仍可以从函数外部访问,不会被 GC 释放

    返回一个函数的函数

    如何使用 ?

    这三次函数调用不会创建集合对象

    调用

    如果只需要调用一次则可以直接调用返回的函数 :


    源代码 : 点击这里获取源代码

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