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如何快速判断一个数的开方是不是无理数?

如何快速判断一个数的开方是不是无理数?

作者: 霍奕含 | 来源:发表于2019-10-07 16:35 被阅读0次

    引言:

    学习完了统计之后,我们开始学习了实数,和我们之前学到了一些有理数,以及对无理数的一些认识进行了简单的回顾后,我们又对实数进行了深一步的探索,并掌握了一种新的运算是乘方的逆运算--开方

      最初接触开放时,同学们也提出了很多有趣的问题,因为有一些数字的开放属于无理数,所以就有一些关于估算和数轴的问题,后来我们就更加精确地去学习了运算,对此同学们也去探索了很多,那我就来分享一下我对我最感兴趣的一个问题的探索--

        如何快速判断一个数的开方是不是无理数?
     


    其实判断一个数的开方是不是有理数很简单,就是被开方数是任意一个有理数的平方,那开出来的方就是这个有理数,就例如:

    在判定一个数的开方是不是无理数,只需要看这个被开方数是否是一个有理数的平方。为了更加简洁,我们把这样的数叫做完全平方数,所以 要看根号下的那个数是不是完全平方数,即它能写成另一个数的平方。如果是一个完全平方数,开根号后就是有理数;反之,是无理数。

    这样看来这个问题好像就解决了,但是好像并不能从根本解决问题,所以我又产生了一个问题:

    如何快速的判断一个数是不是完全平方数呢?


      如果我们想快速判断出一个数到底是不是完全平方数,那我们就先要找出完全平方数的一些特征,也可以说是完全平方数的性质。

    (但是完全平方数的探索方法实在太多了,所以我们只能找出其中几个以便排除一些数字,也只能通过规律去探索完全平方数)


    我们观察这样的一组数:

    121  、 12321    、1234321、123454321

    当我们第一次看到这些数的时候,第一感觉就觉得这些数很“对称”那这样的数是不是完全平方数呢?他们开平方后的数又是什么样的呢?

    121开平方后是11      12321  开平方后是111

    1234321开平方后是1111

    123454321开平方后是11111

    这样我们好像就找到了某种神奇的规律,用文字语言给它总结出来就是这样的:由1构成的数的平方,假设这个数的因数有n个,那么平方就有2n-1个数位,且由右至左或由左至右,第1个数位上为1,第2个数位上为2,…,第n个数位上为n

      那我们得到了一个正向的规律,由此也可以推出它逆向的规结构律,只要这个数形如“对称”结构,那它就一定是一个完全平方数,且开平方后的数每个数位都是由1构成。

    通过这一规律我们就找到了完全平方数的一个特征。遇到这类结构的数时,我们可以快速的识别出来,也可以根据他它的数位来判断它的完全平方数是由多少个1构成的。


    这就是我对完全平方数的其中一个特征的探索。同时我觉得完全平方数和奇数偶数的平方,质数合数的平方,都密切相关,所以还有很多值得去探索的领域……over^O^

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