数据结构之二叉树

作者: Dezi | 来源:发表于2020-05-08 17:10 被阅读0次

一、树的基本概念

树：是由结点或顶点和边组成的(可能是非线性的)，且不存在着任何环的一种数据结构。没有结点的树称为空(null或empty)树。一棵非空的树包括一个根结点，还(很可能)有多个附加结点，所有结点构成一个多级分层结构。
结点：树中的一个独立单元，包含一个数据元素及若干指向其他子树的分支，例如：A、B、C、D等都是结点。
结点的度：一个结点含有的子结点的个数称为该结点的度，例如A的度是3，C的度为1，D的度为3，F的度为0.
树的度：树的度是树内各结点度的最⼤值，例如：上图中树的度应该是3
叶⼦：度为0的结点称为叶⼦或终端结点，例如：K、J、F、G、M、I、J 都是树的叶⼦
⾮终端结点：度不为0的结点称为⾮终端结点或分⽀结点，除了根结点以外，⾮终端结点也称为内部结点，例如：B、E、C、D、H都是非终端结点
双亲和孩⼦：结点的⼦树的根称为该结点的孩⼦，相应地，该结点称为孩⼦的双亲，例如：B的双亲为A，B的孩⼦有E和F
兄弟：同⼀个双亲的孩⼦之间称为兄弟结点，例如：H、I和J互为兄弟
祖先：从根到该结点所经历的分⽀上的所有结点，例如：M的祖先为A、D、H
⼦孙：以某结点为根的⼦树中的任⼀结点都称为该结点的⼦树。例如：B的⼦孙为E、F
层次：结点的层次从根开始定义起，根为第⼀层，根的孩⼦为第⼆层，树中任⼀层次等于双亲结点的层次加1
堂兄弟：双亲在同⼀层的结点互为堂兄弟，例如：结点G与E、F、H、I、J 互为堂兄弟
结点的⾼度：根结点到叶⼦结点的最⻓路径(边数) ，例如：A的高度为3，C的高度为1
结点的深度：根结点到这个结点所经历的边的个数，例如：B的深度为1，M的深度为3
结点的层数：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的⾼度：根结点的⾼度

二、树和二叉树

1. 树的种类

有序树和⽆序树：
如果将树的结点的各⼦树看成从左到右是有次序的(即不能互换)则称为该树为有序树，否则是⽆序树。在有序树中最左边的⼦树的根称为第⼀个孩⼦，最右边的称为最后⼀个孩⼦。什么叫有序树，就类似在家谱中第⼀房太太，到第五房太太以及孩⼦是有顺序的，这样存在顺序关系叫有序树

⼆叉树(Binary Tree)：是n (n>=0)个结点所构成的集合，它或为空树(n=0)；对于⾮空树T：有且仅有⼀个称之为根结点，除了根结点以外的其余结点分为2个互不相交的⼦集T1、T2。分别称为T的左⼦树和右⼦树，且T1和T2本身都是⼆叉树。
满二叉树：双亲结点都有2个儿子
完全二叉树：从根结点出发，最深一层以上是满二叉树。
最后一层叶子结点是从左到右是连续的，不存在中间有空结点的情况。

2. 二叉树的特点

⼆叉树每个结点⾄多只有2颗⼦树，所以⼆叉树中不存在⼤于2的结点
⼆叉树的⼦树有左右之分，其次序不能任意颠倒
即使只有⼀棵树，也需要区分是左⼦树还是右⼦树

3. 二叉树的性质

4. 二叉树的形态

斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

特点：
1）叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
2）非叶子结点的度一定是2。
3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多

完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。
图展示一棵完全二叉树

特点：
1）叶子结点只能出现在最下层和次下层。
2）最下层的叶子结点集中在树的左部。
3）倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。
4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
5）同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。
注：满二叉树一定是完全二叉树，但反之不一定成立。

三、二叉树的顺序存储

1. 顺序存储

二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，就是数组的下标索引。

如上图，当是完全二叉树时，结点数刚好填满数组。如果不是完全二叉树时，采用顺序存储形式如下：

此时，使用∧表示数组中没有存储结点的位置。此时可以发现，顺序存储结构中出现了空间浪费的情况。因此，顺序存储一般适用于完全二叉树。

2. 顺序存储的实现

结点定义

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */
#define MAX_TREE_SIZE 100 /* 二叉树的最大结点数 */

typedef int Status;        /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int CElemType;      /* 树结点的数据类型，目前暂定为整型 */
typedef CElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; /* 0号单元存储根结点  */
CElemType Nil = 0;   /*设整型以0为空 或者以 INT_MAX(65535)*/

typedef struct {
    int level; //结点层
    int order; //本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
}Position;

基本操作

#pragma mark -- 二叉树的基本操作
// visit
Status visit(CElemType c){
    printf("%d ",c);
    return OK;
}

// 构造空二叉树T,因为T是固定数组,不会改变.
Status InitBiTree(SqBiTree T){
    for (int i = 0; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
        //将二叉树初始化值置空
        T[i] = Nil;
    }
    return OK;
}

// 按层序次序输入二叉树中的结点值(字符型或整型),构造顺序存储的二叉树T
Status CreateBiTree(SqBiTree T){
    int i = 0;
    //printf("按层序输入结点的值(整型),0表示空结点, 输入999结束.结点数<=%d\n",MAX_TREE_SIZE);
   
    while (i < 10) {
        T[i] = i+1;
        printf("%d ",T[i]);
        
        //结点不为空,且无双亲结点
        if (i != 0 && T[(i+1)/2-1] == Nil && T[i] != Nil) {
            printf("出现无双亲的非根结点%d\n",T[i]);
            exit(ERROR);
        }
        i++;
    }
    //将空赋值给T的后面的结点
    while (i < MAX_TREE_SIZE) {
        T[i] = Nil;
        i++;
    }
    return OK;
}

//技巧:
//如果大家想要2个函数的结果一样,但是目的不同;
//在顺序存储结构中, 两个函数完全一样的结果
#define ClearBiTree InitBiTree
/* 判断二叉树是否为空
 初始条件: 二叉树已存在
 操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则返回FALSE;
 */
Status BiTreeEmpty(SqBiTree T){
    //根结点为空,则二叉树为空
    if (T[0] == Nil)
        return TRUE;
    
    return FALSE;
}

/* 获取二叉树的深度
 初始条件: 二叉树已存在
 操作结果: 返回二叉树T深度;
 */
int BiTreeDepth(SqBiTree T){
    
    int j = -1;
    int i;
    
    //找到最后一个结点
    //MAX_TREE_SIZE -> 100 -> 10 目的找到最后一个结点10的位置
    for (i = MAX_TREE_SIZE-1 ; i>=0; i--) {
        if (T[i] != Nil)
            break;
    }
    
    do {
        j++;
    } while ( powl(2, j) <= i); //计算2的次幂
    
    return j;
}

/* 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置)
 操作结构: 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
 */
CElemType Value(SqBiTree T,Position e){
    
    /*
     Position.level -> 结点层.表示第几层;
     Position.order -> 本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
     */
    
    //pow(2,e.level-1) 找到层序
    printf("%d\n",(int)pow(2,e.level-1));
    
    //e.order
    printf("%d\n",e.order);
    
    //4+2-2;
    return T[(int)pow(2, e.level-1)+e.order-2];
}

/* 获取二叉树根结点的值
 初始条件: 二叉树T存在
 操作结果: 当T不空,用e返回T的根, 返回OK; 否则返回ERROR
 */
Status Root(SqBiTree T,CElemType *e){
    if (BiTreeEmpty(T)) {
        return ERROR;
    }
    
    *e = T[0];
    return OK;
}

/*
 给处于位置e的结点赋值
 初始条件: 二叉树存在,e是T中某个结点的位置
 操作结果: 给处于位置e的结点赋值Value;
 */
Status Assign(SqBiTree T,Position e,CElemType value){
    
    //找到当前e在数组中的具体位置索引
    int i = (int)powl(2, e.level-1)+e.order -2;
    
    //叶子结点的双亲为空
    if (value != Nil &&  T[(i+1)/2-1] == Nil) {
        return ERROR;
    }
    
    //给双亲赋空值但是有叶子结点
    if (value == Nil && (T[i*2+1] != Nil || T[i*2+2] != Nil)) {
        return  ERROR;
    }
    
    T[i] = value;
    return OK;
}

/*
 获取e的双亲;
 初始条件: 二叉树存在,e是T中的某一个结点
 操作结果: 若e是T的非根结点, 则返回它的双亲,否则返回"空"
 */
CElemType Parent(SqBiTree T, CElemType e){
    //空树
    if (T[0] == Nil) {
        return Nil;
    }
    
    for (int i = 1 ; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
        //找到e
        if (T[i] == e) {
            return T[(i+1)/2 - 1];
        }
    }
    
    //没有找到
    return Nil;
}

/*
 获取某个结点的左孩子;
 初始条件:二叉树T存在,e是某个结点
 操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空"
 */
CElemType LeftChild(SqBiTree T,CElemType e){
    
    //空树
    if (T[0] == Nil) {
        return Nil;
    }
    for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {
        //找到e
        if (T[i] == e) {
            return T[i*2+1];
        }
    }
    
    //没有找到
    return Nil;
}

/*
 获取某个结点的右孩子;
 初始条件:二叉树T存在,e是某个结点
 操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空"
 */
CElemType RightChild(SqBiTree T,CElemType e){
    
    //空树
    if (T[0] == Nil) {
        return Nil;
    }
    for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {
        //找到e
        if (T[i] == e) {
            return T[i*2+2];
        }
    }
    
    //没有找到
    return Nil;
}

/*
 获取结点的左兄弟
 初始条件:  二叉树T存在,e是T中某个结点
 操作结果: 返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或无左兄弟,则返回＂空＂
 */
CElemType LeftSibling(SqBiTree T,CElemType e)
{
    /* 空树 */
    if(T[0]==Nil)
        return Nil;
    
    for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
    /* 找到e且其序号为偶数(是右孩子) */
        if(T[i]==e&&i%2==0)
            return T[i-1];
    
    return Nil; /* 没找到e */
}

/* 获取结点的右兄弟
 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点
 操作结果: 返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或无右兄弟,则返回＂空＂
 */
CElemType RightSibling(SqBiTree T,CElemType e)
{
    /* 空树 */
    if(T[0]==Nil)
        return Nil;
    
    for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
    /* 找到e且其序号为奇数(是左孩子) */
        if(T[i]==e&&i%2==1)
            return T[i+1];
    
    return Nil; /* 没找到e */
}

遍历二叉树：

层序遍历二叉树

规则：若⼆叉树为空，则空操作返回；否则从树的第⼀层，也是就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历在同⼀层中, 按从左到右的顺序对结点逐个访问。

void LevelOrderTraverse(SqBiTree T){
    int i = MAX_TREE_SIZE-1;
    
    //找到最后一个非空结点的序号
    while (T[i] == Nil) i--;
    
    //从根结点起,按层序遍历二叉树
    for (int j = 0; j <= i; j++)
        //只遍历非空结点
        if (T[j] != Nil)
            visit(T[j]);
    
    printf("\n");
}

前序遍历二叉树

规则：若⼆叉树为空，则空操作返回；否则先访问根结点，然后前序遍历左⼦树，在前序遍历右子树

void PreTraverse(SqBiTree T,int e){
    //打印结点数据
    visit(T[e]);
    
    //先序遍历左子树
    if (T[2 * e + 1] != Nil) {
        PreTraverse(T, 2*e+1);
    }
    //最后先序遍历右子树
    if (T[2 * e + 2] != Nil) {
        PreTraverse(T, 2*e+2);
    }
}

Status PreOrderTraverse(SqBiTree T){
    //树不为空
    if (!BiTreeEmpty(T)) {
        PreTraverse(T, 0);
    }
    printf("\n");
    return  OK;
}

中序遍历

规则：若⼆叉树为空，则空操作返回；否则从根结点开始(注意并不是先访问根结点)，中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右⼦树。

void InTraverse(SqBiTree T, int e){
    
    /* 左子树不空 */
    if (T[2*e+1] != Nil)
        InTraverse(T, 2*e+1);
    
    visit(T[e]);
    
    /* 右子树不空 */
    if (T[2*e+2] != Nil)
        InTraverse(T, 2*e+2);
}

Status InOrderTraverse(SqBiTree T){
    /* 树不空 */
    if (!BiTreeEmpty(T)) {
        InTraverse(T, 0);
    }
    printf("\n");
    return OK;
}

后序遍历

规则：若⼆叉树为空，则空操作返回；否则从左到右先叶⼦后结点的⽅式遍历左右⼦树，最后访问根结点。

void PostTraverse(SqBiTree T,int e)
{   /* 左子树不空 */
    if(T[2*e+1]!=Nil)
        PostTraverse(T,2*e+1);
    /* 右子树不空 */
    if(T[2*e+2]!=Nil)
        PostTraverse(T,2*e+2);
    
    visit(T[e]);
}
Status PostOrderTraverse(SqBiTree T)
{
    if(!BiTreeEmpty(T)) /* 树不空 */
        PostTraverse(T,0);
    printf("\n");
    return OK;
}

main函数

int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...
    printf("二叉树顺序存储结构实现!\n");
    
    Status iStatus;
    Position p;
    CElemType e;
    SqBiTree T;
    
    InitBiTree(T);
    CreateBiTree(T);
    printf("建立二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) \n",BiTreeEmpty(T));
    printf("树的深度=%d\n",BiTreeDepth(T));
    
    p.level=3;
    p.order=2;
    e=Value(T,p);
    printf("第%d层第%d个结点的值: %d\n",p.level,p.order,e);
    
    
    iStatus = Root(T, &e);
    if (iStatus) {
        printf("二叉树的根为:%d\n",e);
    }else
    {
        printf("树为空,无根!\n");
    }
    
    //向树中3层第2个结点位置上结点赋值99
    e = 99;
    Assign(T, p, e);
    
    //获取树中3层第2个结点位置结点的值是多少:
    e=Value(T,p);
    printf("第%d层第%d个结点的值: %d\n",p.level,p.order,e);
    
    //找到e这个结点的双亲;
    printf("结点%d的双亲为%d_",e,Parent(T, e));
    //找到e这个结点的左右孩子;
    printf("左右孩子分别为:%d,%d\n",LeftChild(T, e),RightChild(T, e));
    //找到e这个结点的左右兄弟;
    printf("结点%d的左右兄弟:%d,%d\n",e,LeftSibling(T, e),RightSibling(T, e));
    
    
    Assign(T, p, 5);
    
    printf("二叉树T层序遍历:");
    LevelOrderTraverse(T);
    
    printf("二叉树T先序遍历:");
    PreOrderTraverse(T);
    
    printf("二叉树T中序遍历:");
    InOrderTraverse(T);
    
    printf("二叉树T后序遍历:");
    PostOrderTraverse(T);
    
    return 0;
}

打印：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 建立二叉树后,树空否？0(1:是 0:否) 
树的深度=4
4
2
第3层第2个结点的值: 5
二叉树的根为:1
4
2
第3层第2个结点的值: 99
结点99的双亲为2_左右孩子分别为:10,0
结点99的左右兄弟:4,0
二叉树T层序遍历:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
二叉树T先序遍历:1 2 4 8 9 5 10 3 6 7 
二叉树T中序遍历:8 4 9 2 10 5 1 6 3 7 
二叉树T后序遍历:8 9 4 10 5 2 6 7 3 1

四、二叉树链式存储

1. 链式存储

由二叉树定义可知，二叉树的每个结点最多有两个孩子。因此，可以将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。表示方式如下图所示：

我们一般会使用扩展二叉树（#代表空）：

2. 实现代码

二叉树构造

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

/* 存储空间初始分配量 */
#define MAXSIZE 100
/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int Status;

int indexs = 1;
typedef char String[24]; /*  0号单元存放串的长度 */
String str;
Status StrAssign(String T,char *chars)
{
    int i;
    if(strlen(chars)>MAXSIZE)
        return ERROR;
    else
    {
        T[0]=strlen(chars);
        for(i=1;i<=T[0];i++)
            T[i]=*(chars+i-1);
        return OK;
    }
}

二叉树基本操作

typedef char CElemType;
CElemType Nil=' '; /* 字符型以空格符为空 */
typedef struct BiTNode  /* 结点结构 */
{
    CElemType data;        /* 结点数据 */
    struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左右孩子指针 */
}BiTNode,*BiTree;

/* 打印数据*/
Status visit(CElemType e)
{
    printf("%c ",e);
    return OK;
}

/* 构造空二叉树T */
Status InitBiTree(BiTree *T)
{
    *T=NULL;
    return OK;
}

/*
 销毁二叉树
 初始条件: 二叉树T存在。
 操作结果: 销毁二叉树T
 */
void DestroyBiTree(BiTree *T)
{
    if (*T) {
        /* 有左孩子 */
        if((*T)->lchild)
            DestroyBiTree(&(*T)->lchild); /* 销毁左孩子子树 */
        
        /* 有右孩子 */
        if((*T)->rchild)
            DestroyBiTree(&(*T)->rchild); /* 销毁右孩子子树 */
        
        free(*T); /* 释放根结点 */
        
        *T=NULL; /* 空指针赋0 */
    }
}

#define ClearBiTree DestroyBiTree
/*
 创建二叉树
 按前序输入二叉树中的结点值(字符),#表示空树;
 */
void CreateBiTree(BiTree *T){
    
    CElemType ch;
    
    //获取字符
    ch = str[indexs++];
    
    //判断当前字符是否为'#'
    if (ch == '#') {
        *T = NULL;
    } else {
        //创建新的结点
        *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        //是否创建成功
        if (!*T) {
            exit(OVERFLOW);
        }
        
        /* 生成根结点 */
        (*T)->data = ch;
        /* 构造左子树 */
        CreateBiTree(&(*T)->lchild);
        /* 构造右子树 */
        CreateBiTree(&(*T)->rchild);
    }
}

/*
 二叉树T是否为空;
 初始条件: 二叉树T存在
 操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则FALSE
 */
Status BiTreeEmpty(BiTree T)
{
    if(T)
        return FALSE;
    else
        return TRUE;
}

/*
 二叉树T的深度
 初始条件: 二叉树T存在
 操作结果: 返回T的深度
 */
int BiTreeDepth(BiTree T){
    
    int i,j;
    if(!T)
        return 0;
    
    //计算左孩子的深度
    if(T->lchild)
        i=BiTreeDepth(T->lchild);
    else
        i=0;
    
    //计算右孩子的深度
    if(T->rchild)
        j=BiTreeDepth(T->rchild);
    else
        j=0;
    
    //比较i和j
    return i>j?i+1:j+1;
}

/*
 二叉树T的根
 初始条件: 二叉树T存在
 操作结果: 返回T的根
 */
CElemType Root(BiTree T){
    if (BiTreeEmpty(T))
        return Nil;
    
    return T->data;
}

/*
 返回p所指向的结点值;
 初始条件: 二叉树T存在，p指向T中某个结点
 操作结果: 返回p所指结点的值
 */
CElemType Value(BiTree p){
    return p->data;
}

/*
 给p所指结点赋值为value;
 初始条件: 二叉树T存在，p指向T中某个结点
 操作结果: 给p所指结点赋值为value
 */
void Assign(BiTree p,CElemType value)
{
    p->data=value;
}

二叉树遍历

/*
 前序递归遍历T
 初始条件:二叉树T存在;
 操作结果: 前序递归遍历T
 */

void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
        return;
    printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
    PreOrderTraverse(T->lchild); /* 再先序遍历左子树 */
    PreOrderTraverse(T->rchild); /* 最后先序遍历右子树 */
}

/*
 中序递归遍历T
 初始条件:二叉树T存在;
 操作结果: 中序递归遍历T
 */
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
        return ;
    InOrderTraverse(T->lchild); /* 中序遍历左子树 */
    printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
    InOrderTraverse(T->rchild); /* 最后中序遍历右子树 */
}

/*
 后序递归遍历T
 初始条件:二叉树T存在;
 操作结果: 中序递归遍历T
 */
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
        return;
    PostOrderTraverse(T->lchild); /* 先后序遍历左子树  */
    PostOrderTraverse(T->rchild); /* 再后序遍历右子树  */
    printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
}

main函数
扩展二叉树：ABDH#K###E##CFI###G#J##

int main(int argc, const char * argv[]) {

    int i;
    BiTree T;
    CElemType e1;
    
    InitBiTree(&T);
    
    StrAssign(str,"ABDH#K###E##CFI###G#J##");
    
    CreateBiTree(&T);
    printf("二叉树是否为空%d(1:是 0:否),树的深度=%d\n",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T));
    
    e1=Root(T);
    printf("二叉树的根为: %c\n",e1);
    
    printf("\n前序遍历二叉树:");
    PreOrderTraverse(T);
    
    printf("\n中序遍历二叉树:");
    InOrderTraverse(T);
    
    printf("\n后序遍历二叉树:");
    PostOrderTraverse(T);
    
    printf("\n");
    
    return 0;
}

数据结构之二叉树

一、树的基本概念

二、树和二叉树

1. 树的种类

2. 二叉树的特点

3. 二叉树的性质

4. 二叉树的形态

三、二叉树的顺序存储

1. 顺序存储

2. 顺序存储的实现

四、二叉树链式存储

1. 链式存储

2. 实现代码

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