近世代数期末复习

作者: 子潇有话要说 | 来源:发表于2019-01-01 14:51 被阅读76次

近世代数期末复习
学习笔记《Group theory》
【199】
线性代数期末复习大纲
关于近世代数
近世代数简介
2x510的日常
线性代数知识汇总2019-06-18
数学与应用数学专业的主要几种介绍
近世代数理论基础29：代数扩张

2019年1月2号考近世代数，先把试题整理好，希望能过，文末有资料~

2016年考题

简答题(6分1个)

阐述二元关系、等价关系、等价类的定义

二元关系

集合 $A$ 的二元关系 $R$ = $A \times A$ 某个子集 = $\{ (a,b)| a,b \in A \}$ ，记作 $aRb$

等价关系

等价关系 $R$ 是某个集合 $A$ 上的二元关系。 $R$ 满足以下条件：

自反性： $\forall x \in A, xRx$
对称性： $\forall x \in A, xRy \Longrightarrow yRx$
传递性： $\forall x,y,z \in A, \left( xRy\bigwedge yRz \right) \Longrightarrow xRz$

则称 $R$ 是定义在 $A$ 上的等价关系，习惯上会把等价关系的符号由 $R$ 改写为 $\sim$ 。

并非所有的二元关系都是等价关系，一个简单的反例是比较两个数哪个大。

没有自反性
没有对称性

等价类

假设 $X$ 为等价关系， $X$ 中的某个元素 $a$ 的等价类就是在 $X$ 中等价于 $a$ 的所有元素形成的子集:
$[a] = \{x \in X | x \sim a \}$

$a \sim b$ 当且仅当 $[a] = [b]$ 。

阐述群的定义(必背)

给定一个集合 $G$ 和一个二元关系 $\circ$ ，这个二元关系是一个 $G \times G \to G$ 的映射，如果这是一个群，满足以下四条性质：

封闭性，对于任意给定的 $a,b \in G,a \circ b \in G$
结合律，对于任意给定的 $a,b,c \in G$ ，有 $(a \circ b)\circ c =a \circ (b\circ c)$
单位元存在， $\forall a \in G, \exists e \in G$ ， $a \circ e =e \circ a = a$
逆元存在， $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G$ ， $a \circ a^{-1} =a^{-1} \circ a = e$

阐述环同态的定义

代数运算

一个 $A \times B$ 到 $D$ 的映射叫做一个 $A \times B$ 到 $D$ 的代数运算。

同态

$\phi : A \to \overline{A}$ ， $\circ$ 和 $\overline{\circ}$ 分别是 $A$ 和 $\overline{A}$ 代数运算。
$\forall a,b \in A$ 且 $a \to \overline{a},b \to \overline{b} \implies a \circ b \to \overline{a} \overline{\circ} \overline{b}$

$\phi$ 是 $A$ 到 $\overline{A}$ 上的同态映射。

同态是从一个代数结构到同类代数结构的映射，它保持所有相关的结构不变；也即，所有诸如幺元、逆元、和二元运算之类的属性不变。

环同态

指两个环 $R$ 与 $S$ 之间的映射 $f:R\rightarrow S$ 保持两个环的加法与乘法运算。

$\forall a,b \in R , f(a+b) = f(a) + f(b)$
$\forall a,b \in R , f(ab) = f(a)f(b)$
$f(1)=1$

阐述既约多项式，既约元，素元的定义。

素元，既约元

设 $R$ 是具有单位元的整环， $R$ 中所有可逆元的集合为 $U$ ，且 $p \neq 0 , p \in R, p \notin U$ ， $a,b \in R$

如果 $p=ab \implies a \in U \; or \; b \in U$ ， $p$ 是 $R$ 的既约元
如果 $p|ab \implies p|a \; or \; p|b$ ， $p$ 是 $R$ 的素元

整数环中的素数，既是既约元又是素元

既约多项式

具有单位元的整环 $R$ 上多项式 $R[x]$

唯一分解环R的既约元是素元

阐述什么是超越元，和代数元，并简述两种情况下有限域的结构。

超越元与代数元

设 $K$ 是域 $F$ 上的扩域， $k \in K$ 称为 $F$ 上的一个代数元，假如存在不全为零的 $a_0 + a_1 k + a_2 k^2+ \cdots + a_n k^n = 0$ 。换句话说， $k$ 是 $F[x]$ 中非零多项式的根。 $K$ 中元素不是 $F$ 上的代数元称为 $F$ 上的超越元。

单代数扩域和单超越扩域

设 $K$ 是域 $F$ 上的扩域， $a \in K$ ，包含 $F$ 和 $a$ 的 $K$ 的最小子域称为添加 $a$ 于 $F$ 的单扩域，记为 $F(a)$ 。如果 $a$ 是 $F$ 上的代数元，则称 $F(a)$ 为单代数扩域；如果 $a$ 是 $F$ 上的超越元，则称 $F(a)$ 为单超越扩域。

填空选择(6分1个)

填空

考察保持距离的双射

考察矩阵的阶

求二阶矩阵A,BA,以及BA的阶

考察欧式环

选择

三个置换群相乘，求结果

三个置换群相乘，求结果，从右往左画图
$(123)(321)^{-1}(12) = (123)(123)(12)$

考察单位元，素元

单位元的整环里，已知P是素元，那么()
A. P一定是既约元
B. P一定不是既约元
C. P一定不是既约元
D. 以上说法都不对

解析：由定理：具有单位元的整环里，每一个素元都是既约元。选A

大题(10分一道)

证明模余群是交换群，原题出自PPT

证明是二元运算，即保证了群的封闭性。

证明为群后，再证明满足交换律即可。

辗转相除

思路： $Z_3[x]$ 表示摸3的剩余类，在做辗转相除的过程中，系数自动模3，先配平高阶的 $x^5$ ，即观察到 $2x^4$ 的前面系数为2，为了保证 $2 * k mod 3 =1$ ，这里我们的系数 $k$ 就可以取2，然后观察到多了 $4x$ 这个项，于是我们添加 $2x$ ，这样模3以后就消失了。
同时，要保证除数的最高次数要高于余数的最高次数(想想为什么)。
在第二步中，我们配一个 $x^3$ ，此时发现后面多了一个 $2x^3$ ，余数就不能写作 $x^3$ ，这样除数的最高次数要小于余数的最高次数。所以要继续配，把 $x^3$ 给模3掉，于是后面就加上 $2x^2$ ，这样结果就为 $x^3$ 的系数就为6了，以此类推，后面配好 $x^2,x^1,x^0$ 的系数。
求出最大公约数后，反转过来，最后结果记得模3。

代数元

思路：首先要弄清楚代数元的概念，上面已经写了。设形式如 $a+bi$ 是 $Q$ 上的扩域，假设扩域为 $K$ ，即 $x = 2- \sqrt {7} i\in K$ 。即要满足 $x$ 是 $Q[x]$ 中非零多项式的根。

2019年复习题

简答题(6分1个)

阐述同态映射，群同态的定义

同态

$\phi$ 是 $A$ 到 $\overline{A}$ 上的同态映射。

同态是从一个代数结构到同类代数结构的映射，它保持所有相关的结构不变；也即，所有诸如幺元、逆元、和二元运算之类的属性不变。

同态映射(必背)

群同态(必背)

给定两个群 $(G,\cdot),(H,\circ)$ 。从 $(G,\cdot)$ 到 $(H,\circ)$ 的群同态的映射函数 $h:G \rightarrow H$ ，使得对于所有 $G$ 中的 $a$ 和 $b$ 成立下述不等式：
$h{(a \cdot b)} =h{(a)} \circ h{(b)}$
其中 $\cdot$ 是 $G$ 上的运算， $\circ$ 是 $H$ 上的运算。

每一个群同态 $h$ 确定两个重要的子群：它的像和它的核。

像

容易理解，是映射的象
$im(h) = \{x \in H | \exists a \in G, x= h(a)\}$
并且它是 $H$ 的一个子群

核

不好理解，它是被映为 $H$ 中单位元的 $G$ 的元素的集合。
$ker(h) = \{a \in G | h(a)=1 \}$

可以表示为单位元的原像 $h^{-1}(1)$ ，核是 $G$ 的子群，因为若a和b在 $ker(h)$ 中，则:
$h{(ab)} = h{(a)}h{(b)}=1 \cdot 1=1$ ，于是 $ab \in ker(h)$

阐述正规子群的定义(必背)

设群 $H$ 是 $G$ 的子群 $(H \leq G)$ ，且 $\forall g \in G,gH=Hg$ ，称 $H$ 是 $G$ 的正规子群，记作 $H \lhd G$ 。

一个群 $G$ 的子群 $H$ 是正规子群的充要条件是：
$\forall g \in G \Longrightarrow gHg^{-1} = H$
$\forall g \in G,\forall h \in H \Longrightarrow gHg^{-1} \in H$

同态的核是正规子群

阐述凯莱定理(必背)

任何一个群都同一个变换群同构。

证明

假设 $G$ 是一个群， $G$ 的元是 $a,b,c,\cdots$
我们先构造一个同构的变换群 $\overline{G}$
我们在 $G$ 中任取一个元 $g$ ，设 $\tau_g: x \rightarrow gx$ 是集合 $G$ 的一个变换， $G$ 中的任意元经过 $\tau_g$ 变换可以得到 $g^{\tau_g}$ ，每一个元经过变换后得到： $\overline{G} = \{ a^{\tau_a},b^{\tau_b},c^{\tau_c},\cdots \}$
$\forall g,h \in G$ ,
$(\tau_g \circ \tau_h)(x)=\tau_g (\tau_h(x))=\tau_g(hx)=g(hx)=(gh)x=\tau_{gh}(x)$

同构映射

推论

任何抽象群都可以找到具体的变换群与它同构。

阐述整环，除环，理想，欧式环，唯一分解环的定义

环

集合 $R$ 和定义在其上的二元运算 $+$ 和 $\cdot$ ， $(R,+)$ 形成一个交换群(阿贝尔群)，单位元为零元，记作 $0$

$(R,+)$ 是封闭的
$a+b = b+a$ ，满足加法交换律
$(a+b)+c = a + (b+c)$ ，满足加法结合律
$a + 0 = 0 + a = a$
$\forall a,\exists (-a) \implies a + (-a) = (-a) + a =0$

$(R,\cdot)$ 形成一个半群，即

$(R,\cdot)$ 是封闭的
$(a \cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

乘法关于加法满足分配律，即

$a \cdot (b + c)= a \cdot b + b \cdot c$
$(b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$

整环

非平凡的环 $R$ 满足下列要求：

乘法适合交换律： $a \times b = b \times a$
存在乘法的单位元： $\forall a \in R, a \times e = e \times a = a$
没有零因子： $\forall(a,b) \in R^{2}, a \times b = 0 \implies (a =0 \bigwedge b =0)$

简单来说，一个无零因子的非平凡交换环称为整环，例如整数环。

除环(必背)

除环 $R$ 满足下列要求：

$R$ 至少包含一个不等于零的元
$R$ 有一个单位元
$R$ 的每一个不等于零的元都有逆元

一个交换除环叫做一个域

子环

$(R,+,\cdot)$ 为环， $S$ 是 $R$ 的一个非空子集，子环满足下列要求：

$R$ 的零元也在S里面
$\forall a,b \in S, a+b \in S$
$\forall a \in S, -a \in S$
$\forall a,b \in S,ab \in S$

等价证明：

$\forall a,b \in S, a-b \in S$
$\forall a,b \in S,ab \in S$

理想(必背)

环 $R$ 的一个非空子集 $I$ 叫一个理想子环，简称理想，假如

$\forall a,b \in I \implies a-b \in I$
$\forall a \in I \implies ra,ar \in I$

唯一分解环

具有单位元的整环 $R$ 称为唯一分解环，假如 $R$ 中除了零元与可逆元外的所有元素都有唯一分解。

$R$ 中除了零元与可逆元外都有一个分解， $a=p_1 p_2 \cdots p_r$ ， $p_i$ 是 $R$ 的既约元。
$R$ 中每一个既约元都是素元

整数环是一个唯一分解环。

欧式环

具有单位元的整环 $R$ ，称为欧几里德(Euclid)环(简称欧式环)，假如满足：

存在一个从 $R^{\ast}$ 到非负整数集的一个映射 $d$ ，这里的 $R^{\ast}$ 是 $R$ 的所有非零元的集合。
设 $a \in R^{\ast}$ ，对于任何 $b \in R$ ，都存在 $q,r \in R$ ，使得 $b = qa +r$ ，这里 $r = 0$ 或 $d(r) < d(a)$ 。

整数环是一个欧式环。

阐述单代数扩域，单超越扩域

域是交换除环。上面已经阐述。

填空选择(6分1个)

填空

考察可逆元、素元、既约元

可逆元

在环 $R$ 中
$\exists u \in R \implies uv = vu = 1_R$ (乘法单位元)