剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

题目介绍

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项。斐波那契数列的定义如下：
F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：
输入：n = 2
输出：1

示例 2：
输入：n = 5
输出：5

提示：0 <= n <= 100

题目解析

斐波那契数列时非常明显的递归问题

第一次

暴力解决，但是暴力并不能解决问题，重复计算过多时间复杂度无法满足。

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n == 0) return 0;
        if (n == 1) return 1;
        return (fib(n - 1) + fib(n - 2)) % 1000000007;
    }
}

第二次

考虑把重复计算缓存下来

class Solution {
    public int fib(int n) {
        int[] mem = new int[n + 1];
        mem[0] = 0;
        mem[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            mem[i] = (mem[i - 1] + mem[i - 2]) % 1000000007;
        }
        return mem[n];
    }
}

第三次

缓存方式虽然解决了时间复杂度问题，但是空间复杂度上去了，考虑同时满足时间和空间复杂度。再次分析可得知，仅需要缓存 i - 1 和 i - 2 的值并遍历替换即可。

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n == 0) return 0;
        if (n == 1) return 1;
        int a = 0;
        int b = 1;
        int x = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
              x = (a + b) % 1000000007;
              a = b;
              b = x;
        }
        return x;
    }
}