算法练习：整数拆分（动态规划）

一.前言

最近一直在了解动态规划，这是LeetCode上面的一道动规的题。

343. 整数拆分

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。
返回 你可以获得的最大乘积 。

示例1：

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例2：

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

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二.思路

说到动态规划，我认为最重要的就是确定自己的 dp数组 的含义，其次就是 递推公式 了。

• 确定 dp[i] 的含义

我们重新浏览一遍题，给定一个正整数 n ，需要将它分成若干个整数，返回最大的乘积。因此我们可以定义 dp[i] 表示每个正整数拆分为若干个正整数所对应的最大乘积，若要确定 dp[i] 的值，我们可以根据 dp[i] 以前的元素进行运算从而得到最大的
dp[i] 的值。

• 确定 dp[i] 的值

dp[i] 的值是由两种方式来共同确定的。
第一，dp[i] = dp[i - j] * j 其中 i 代表外层循环， j 代表内层循环，j 从 1 开始逐个求出 dp[i] ，最后取最大值。
第二，dp[i] = (i - j) * j，同上，也是取最大值。上面那种方式是将 i 分成了 n 个 (n > 2)。而这种方式是将 i 分成了n 个 (n = 2)。

• 确定递推公式

其实到这里，递推公式大致样式也就出来了:
dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(dp[i - j] * j, (i - j) * j)) ，那么可能会有人问为什么还要比较一次 dp[i] 呢？因为我们内层循环中一周后，会算出很多 dp[i] ，我们只需要保存最大的 dp[i]。

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三.代码

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        //dp[2]对应的值应该是1，而dp[2]之前的元素在此问题中无实际意义，因此无需初始化
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= i - j; j++){
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(dp[i - j] * j, j * (i - j)));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

时间复杂度 O(n^2)

• 题外话
  这道题用动态规划的话时间复杂度似乎有点高，其实这道题可以用数学方法来写的，这里用到一个结论：当整数 n 尽可能地等分为 3时乘积最大。如果感兴趣的同学可以去证明一下。

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        if(n <= 3) return n - 1;
        int a = n / 3, b = n % 3;
        //当 n 分刚好能分成若干个 3 时
        if(b == 0) return (int)Math.pow(3, a);
        //当 n 尽可能分成 3 时，余出一个 1 
        if(b == 1) return (int)Math.pow(3, a - 1) * 4;
        //当 n 尽可能分成 3 时，余出一个 2
        return (int)Math.pow(3, a) * 2;
    }
}

时间复杂度：O(1)