关于朗道《力学》p.34习题1的笔记

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2019-12-14 10:41 被阅读0次

习题来自第十四章，这一章讲的是微粒在有心力场中关于运动方程的积分。有心力场下的势函数具有形式 $U = U(|\mathbf{r}|)$ ，其中 $\mathbf{r}$ 是微粒之间的间隔矢量(separation vector)。因此微粒间的作用力根据定义： $\mathbf{F} = -\nabla U(r) = -\left(\frac{dU}{dr}\right)\hat{r} = -\left(\frac{dU}{dr}\right)\frac{\mathbf{r}}{r}$ （第二个等号变成了普通积分是因为考虑到势函数在该情况下只是关于距离 $r$ 的函数）。

第一题要求我们计算球摆的运动方程积分。

首先，在有心力场中球摆的运动方程积分主要指的是两个：

一个是时间 $t$ -天顶角 $\theta$ 的积分，随后可以得到 $\theta (t)$ ，是天顶角关于时间的运动方程。

另一个是天顶角 $\theta$ -方位角 $\phi$ 的积分，随后可以得到 $\phi (\theta)$ ，是方位角关于天顶角的运动方程。

这个题，为什么不跟书里的推导一样，其中一个是半径关于时间的运动方程呢？因为是球摆！半径是固定的，接下来都用 $l$ 来表示，目的是与其他类型的摆术语连贯。

因为是球摆，我们需要考虑使用球坐标。

一个微粒的位矢在球坐标下的无穷小变化量具有形式： $d\mathbf{s} = (dr, rd\theta, r\sin \theta d\phi)$

其速度和大小具有形式：

$\begin{align*}\mathbf{v} &= \frac{d\mathbf{s}}{dt} = (\dot{r}, r\dot{\theta}, r\sin \theta \dot{\phi})\\|\mathbf{v}|^2 &= v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + r^2\sin^2 \theta \dot{\phi}^2\end{align*}$

因为球摆的摆长不变，半径对时间的导为零。设摆的质量为 $m$ ，则动能和势能分别为：

$T = \frac{1}{2}m(l^2\dot{\theta}^2 + l^2 \sin^2\theta\dot{\phi}^2)$

$U(\theta) = -\int \mathbf{F} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{r} = -mgl\cos\theta$

我们先找出该系统中的守恒量（运动积分）

系统的拉格朗日函数具有形式： $\mathscr{L} = T - U(\theta) = \frac{1}{2}m (l^2\dot{\theta}^2 + l^2 \sin^2\theta\dot{\phi}^2) + mgl\cos\theta$

可见其并不显含坐标 $\phi$ ，所以 $\phi$ 为循环坐标。（唯一地确定一个系统的运动状态所需要的坐标中不包括 $\phi$ ，说明系统关于该坐标对称）

根据拉格朗日方程：

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\phi}}\right) = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \phi} = 0$

于是有

$\boxed{\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\phi}} = ml^2 \sin^2 \theta \dot{\phi} = \text{const.}}$

（根据角动量的定义 $\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$ ，并且 $\mathbf{r} = (r\sin\phi \cos\theta, r\sin\phi\sin\theta, r\cos\theta)$ 可以很直接地证明上述守恒量等于角动量沿 $z$ 轴的分量 $M_z$ ）

换句话说， $M_z = ml^2\sin^2 \theta \dot{\phi}$ 是一个常数。

我们可以利用这个常数将动能表达式中的坐标 $\dot{\phi}$ 替换掉，两边同时平方：

$\begin{align*}M_z^2 = m^2l^4\sin^4 \theta \dot{\phi}^2\\\implies \frac{1}{2}\frac{M_z^2}{ml^2\sin^2\theta} = \frac{1}{2}ml^2\sin^2 \theta \dot{\phi}^2\end{align*}$

于是 $T = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}\frac{M_z^2}{ml^2\sin^2\theta}$ ，总能量 $E = T + U(\theta) = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}\frac{M_z^2}{ml^2\sin^2\theta} - mgl\cos\theta$