最大公约数

. 欧几里德算法和扩展欧几里德算法

欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有

d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

#includeusing namespace std;

//int gcd(int a, int b)

//{ if (b == 0) {

// return a; }

// gcd(b, a%b);}

int gcd(int m, int n)

{while (n != 0){

int r = m%n;

m = n;

n = r;

gcd(m, n);

}

return m;}

int main()

{int m,n;

cin >> m;

cin >> n;

cout<<gcd(m,n)；

system("pause");

return 0;}