所谓空间，是指集合加上一定的“结构”。
一维空间：数列的极限，趋向于
，当
趋于无穷，即当
充分大时，
和
之间的距离
可任意小。高维也是同样的道理。
距离空间的定义
首先考虑一个二维空间
他满足：
- 距离是非负的；
- 距离是严格正的
，当且仅当
- 距离是对称的
；
- 距离满足三角不等式，两边之和大于第三边。
我们把具有这些性质的从平面上的点到实数的二元映射定义为距离。
把距离的概念进行推广：
定义1：（距离空间的定义）设
是任一非空集合，对于
，均有一个实数
与它对应，且满足:
1.非负性
2.（严格正、正定）
3.
4. 三角不等式
则称的集合称为一个距离空间，记为
，简记
注1： 在一个集合上可以定义不同的距离，从而得到不同的距离空间。
注2：泛函分析研究的集合可以是无穷序列也可以是闭区间上定义的全体连续函数空间，例如
。（
函数对象可以理解为是动态的有一系列无穷多个点（或者说是在
上的过程），而
维空间上是静态的一个点）
注3：在同一个集合上，可以引进多种距离，要根据研究问题的不同（不同的用途、目标），定义（或者说是引进）不同的距离。以后我们可以看到，有的距离下空间完备（保证都能收敛），有的距离下空间不完备。换句话说，空间的完备性与距离的选择有关。
注4：距离空间这个概念，不是一个集合的概念。同一种集合上可以定义多种距离，同一个集合同一种元素，但加上的距离不一样，就产生了不同的距离空间。
上确界指的是一个集合的最小上界，因为上界有很多，我们要找最小的那个上界。
距离空间中的收敛性
对于，用
语言表述为：
距离空间中收敛点列的性质：
在
中收敛，则：
-
的极限是唯一的；
- 若
是
空间中点列的收敛，等价于按坐标收敛。
不同的距离下(即不同意义下)导出的集合元素的收敛性是不同的。不同的空间下定义的距离是不一样的，元素是一样的。距离不一样了以后，反映的客观现实是不一样的。
因此在什么意义下（什么空间下）研究问题很重要。具体采用什么意义下，取决于实际研究问题的特点。
拓扑的定义：研究在图形的大小和形状连续变化（连续映射）下，不受影响的几何性质和空间关系。
泛函分析就是站在更高更一般的视角（观点）下不断的对事物进行抽象认识，从特殊或具体（实例）到一般（本质）。抽象的过程就是对一些无关的东西（特征）进行剔除的过程，不断剔除一些不重要的东西（特征），留下事物最本质的东西（特征），从而对事物的认识更加深刻。
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