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莫比乌斯反演-2-拓展形式

莫比乌斯反演-2-拓展形式

作者: 家中古词 | 来源:发表于2019-01-09 10:27 被阅读28次

设 f(.) 的定义域是大于等于 1 的实数。

如果，g(x) = \sum_{1 \le k \le x} f(\frac{x}{k})，那么 f(x) = \sum_{1 \le k \le x} \mu(k) g(\frac{x}{k})。这被称作是莫比乌斯反演的拓展形式。通过简单的代入演算可以知道，这个反演公式的成立可以规约成 \mu * 1 = \varepsilon 的。也就没有证明难度。

由此拓展形式得到基本形式，只需要将数论函数进行拓展，使得它们在非整数的定义上取值为 0，由以此为基准进行简单的变化即可。

下面给出一个拓展形式的特化。取 g(x) = \sum_{1 \le k \le x} f(\lfloor \frac{x}{k} \rfloor)，因为总有 \lfloor \frac{x}{k} \rfloor = \lfloor \frac{\lfloor x \rfloor}{k} \rfloor，并且小于等于 x 的整数正是小于等于 \lfloor x \rfloor 的整数。所以 g(x) = g(\lfloor x \rfloor)。

又令 p(x) = f(\lfloor x \rfloor)，那么 g(x) = \sum_{1 \le k \le x} p(\frac{x}{k})。利用反演公式，p(x) = \sum_{1 \le k \le x} \mu(k) g(\frac{x}{k})。利用上一段的结果，p(x) = \sum_{1 \le k \le x} \mu(k) g(\lfloor \frac{x}{k} \rfloor)。

只关心整数部分的取值时。这个特化这样表述：如果 g(n) = \sum_{1 \le k \le n} f(\lfloor \frac{n}{k} \rfloor)，那么 f(n) = \sum_{1 \le k \le n} \mu(k) g(\lfloor \frac{n}{k} \rfloor)。

习题

  1. 当 \mu * 1 = \varepsilon 成立，证明拓展形式成立。

  2. 由拓展形式特化出基本形式。

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