D-S框架中需求价格弹性与替代弹性

作者: 向阳处的yankee | 来源:发表于2019-06-05 20:20 被阅读0次

D-S框架中需求价格弹性与替代弹性
033-035需求第二定律
【静夜思学习笔记】需求第二定律(2)-寻找替代方案
day7 需求弹性
经济学原理之弹性及其应用（一）
供需弹性——微观经济学
需求价格弹性
需求价格弹性
王菲的天价演唱会门票所蕴含的经济学原理
3.0弹性理论-本章导学

本文的目的是想证明D-S框架中需求弹性=替代弹性

在学习新经济地理学时，第一个接触的模型就是D-S模型。可以说DS是后面一系列模型的基础，充分理解这个基础模型对后面的学习帮助很大。

记得最初学习推导DS模型，对需求弹性=替代弹性这个结论很不理解。当时书上的证明过程也很模糊，因此就自己琢磨了一下。现将自己的想法总结如下。

CES效用函数

假设效用函数符合如下形式：
$F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\left(\int_{0}^{n} x\left(\omega_{i}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} d i\right)^{\frac{\sigma}{\sigma-1}}$
其中 $\sigma>1$

替代弹性

替代弹性是指相对数量对相对价格的弹性，相对价格可以是主观相对价格（边际效用之比，类似于边际技术替代率），也可以是客观相对价格（实际价格之比），公式如下：
$\varepsilon_{s u b}=-\frac{d \ln \left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)}{d \ln \left(\frac{F_{1}}{F_{2}}\right)}=\frac{d \ln \left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)}{d \ln \left(\frac{F_{2}}{F_{1}}\right)}$
其中 ${F_{1}}$ 是商品1的边际效用， $\frac{F_{1}}{F_{2}}\$ 表示主观相对价格，即 $MRTS_{1,2}$ 。
均衡时，边际效用之比等于价格之比， $M R T S_{1, 2}=\frac{p_{2}}{p_{1}}$ ，此时替代弹性为：
$\varepsilon_{s u b}=\frac{d \ln \left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)}{d \ln \left(\frac{F_{2}}{F_{1}}\right)}=\frac{d \ln \left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)}{d \ln \left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)}，\varepsilon_{s u b}>0$

D-S框架

消费者在预算约束下实现效用最大化：
$\begin{aligned} \operatorname{Max}\left(\int_{0}^{n} x\left(\omega_{i}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} d i\right)^{\frac{\sigma}{\sigma-1}} , \text {s.t.} & I=\int_{0}^{n} p\left(\omega_{i}\right) x\left(\omega_{i}\right) d i \end{aligned}$
一阶条件满足 $\left(\int_{0}^{n} x\left(\omega_{i}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} d i\right)^{\frac{\sigma}{\sigma-1}-1} \cdot x\left(\omega_{i}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}-1}=\lambda p\left(\omega_{i}\right)$
各商品消费比满足 $\frac{x\left(\omega_{i}\right)}{x\left(\omega_{j}\right)}=\left(\frac{p\left(\omega_{i}\right)}{p\left(\omega_{j}\right)}\right)^{-\sigma}$ ，此时商品的替代弹性 $\varepsilon_{s u b}=\sigma$
进一步，等是两边同时乘以 $p\left(\omega_{i}\right)$ 再求和，用一次约束条件后，即可求出马歇尔需求函数：
$x\left(\omega_{j}\right)=I \cdot p\left(\omega_{j}\right)^{-\sigma} /\left(\int_{0}^{n} p\left(\omega_{i}\right)^{1-\sigma} d i\right)$
由该需求函数可知，需求的价格弹性为 $\sigma$ ，即证明D-S框架中需求弹性=替代弹性。

参考

https://bbs.pinggu.org/thread-1404088-1-1.html
https://bbs.pinggu.org/thread-6902722-1-1.html

D-S框架中需求价格弹性与替代弹性
CES效用函数假设效用函数符合如下形式：其中替代弹性替代弹性是指相对数量对相对价格的弹性，相对价格可以是主观...
033-035需求第二定律
在需求曲线上的每一个价格都是有弹性的，弹性=需求的变化百分比/价格变化百分比。弹性越大说明该商品的替代物越多，反之...
【静夜思学习笔记】需求第二定律(2)-寻找替代方案
需求的价格弹性概念告诉我们，需求曲线上的每个点的弹性都不一样，价格越高，弹性越大，价格越低弹性就小，当弹性>1时就...
day7 需求弹性
?什么是需求弹性？商品价格的变化会不同程度地影响销量，这种价格和销量之间的动态关系叫做需求价格弹性。需求弹性反...
经济学原理之弹性及其应用（一）
一、需求的价格弹性需求的价格弹性(price of elasticity of demand)：衡量的是需求量对...
供需弹性——微观经济学
需求价格弹性需求弹性衡量需求量对价格变动的反应程度。一种物品的需求量对价格的反应很大，称这种物品的需求是富有弹性...
需求价格弹性
“住房是刚需，价格再高，该买还得买。”这句话大家都习以为常。对比国外流行的租房住，大多数中国人始终觉得应该有一套自...
需求价格弹性
最近学了个新词，需求价格弹性，费曼输出如下。一.什么是需求价格弹性？说到弹性，可能大部分人跟我一样会马上想到弹...
王菲的天价演唱会门票所蕴含的经济学原理
经济学中，有个词叫需求弹性。弹性值=需求量/价格变动。有的东西需求是有弹性的，例如汉堡，汉堡太贵了，人们可以吃普...
3.0弹性理论-本章导学
内容体系学习要求重点掌握： 1 需求价格弹性的含义与计算（1）需求价格弹性的含义（要注意正确理解三个问题）；...