摄动法原理

依赖多项式两个结论
例2.1设 $f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\dots+a_{1} x+a_{0} \in F[x]$ 若存在 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}, x_{n+1} \in F,x_i\not=x_j,i\not= j$ 使得 $f\left(x_{i}\right)=0, i=1,2, \cdots, n, n+1$ 则 $f(x)=0$
例2.2若 $f(x), g(x) \in F[x]$ 且它们的次数都不超过 $n$ ，若对 $n+1$ 个不同的数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n+1} \in F$ 有 $f\left(a_{i}\right)=g\left(a_{i}\right), i=1,2, \cdots, n, n+1$ 则 $f(x)=g(x)$

典型例题

例2.3设 $A=\left(a_{i j}\right) \in R^{n \times n}$ ，证明：
(1)若 $\left|a_{i i}\right|>\sum_{j \neq i}\left|a_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ 则 $|A| \neq 0$
(2)若 $a_{i i}>\sum_{j \neq i}\left|a_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ 则 $|A|>0$
例2.15 $A, B \in C^{n \times n}$ 其中 $A$ 为幂零阵(存在正整数 $m$ 使得 $A^m=0$ )且 $AB=BA$ 求证 $|A+B|=|B|$
例2.16设 $A$ 为 $n\times m$ 矩阵， $B$ 为 $m\times n$ 矩阵。证明： $\lambda^{n-m}\left|\lambda E_{m}-B A\right|=\left|\lambda E_{n}-A B\right|$
参考文献：http://www.52gd.org/?p=297