【数据结构】 对于“前向星”的理解

在做图论题的时候，关于如何存图，经常会很纠结。用邻接矩阵，可能会很浪费空间；用邻接表，结构很紧凑，但是链表结构又较难实现。所以，网上有大牛发明了“前向星”，也就是静态链表，即用数组实现邻接表的功能。下面介绍一下我对前向星的一些理解。
注：由于前向星其实和邻接表的原理相同，只不过是用数组实现，因此本文在解释前向星原理的时候经常与邻接表进行比较。希望读者在看本文之前先理解邻接表的原理和实现。
注二：对于树同样可以静态建树，可以参见我的另一篇文章https://www.jianshu.com/p/7e6488e40863
图结构示例如下：

示例.png
如果使用邻接表存储，结构如下
邻接表.png
可以看出，邻接链表在每个顶点后接一个链表，表示这个顶点的邻接点。那么，如果合理地使用数组存储这个链表，显然更为优越——既能保证不浪费空间，实现起来也比链表容易。
于是，前向星应运而生。前向星和邻接链表不同的一点就是，对于每个顶点，前向星存储的是该顶点的邻接边而非邻接点，也就是说，相比于邻接表在每个顶点后挂上一串该顶点的邻接点，前向星在每个顶点后面“挂”上一串该顶点的邻接边。这里的后一个“挂”是不准确的，我们可以在脑海中可以想象这个结构，但要注意实现“前向星”的数据结构并非如此。
以下是实现前向星的数据结构

//存边的信息的结构体
struct Edge
{
    int to;//某个顶点u的邻接点 
    int next;//顶点u的下一条邻接边的编号 
    int val;//该邻接边的权值 
};

//两个必要的数组
Edge edge[edgenumber];//edge[i]表示编号为i的边 
int head[vexnumber];//head[u]表示u的其中一条邻接边的编号 

只看上面的数据结构，相信大家还是很疑惑：
为什么Edge结构体不用记录顶点u？
两个数组又有什么用？
不要着急，我下面会仔细分析这些问题。

正如我上面所说，前向星存储的是每个顶点的邻接边。可以在脑海中想象一下，在每个顶点后面连一个链表，不过链表的节点表示的是邻接边而非邻接点。而用数组实现这个链表，就是前向星。

为什么不要存储顶点u？
不管用哪种结构存图，都应该是每读入一条边的信息，就更新一次图结构。读入一条边u-->v，那么我们在存储图的时候，对于顶点u，该边就是u的一条邻接边，我们就把这条边“挂”在u后面。等读入所有的边，建图完成，顶点u后“挂”的边就全是顶点u的邻接边，因此只需要记录这些邻接边的另一个顶点，而不需要存储顶点u。
由于边是按顺序一条一条读入，我们就很自然的想到对边进行编号，然后将这些边存入edge数组。对于Edge结构体中的next，其实就相当于链表中的next指针。不过此处的next是int型变量，存储的是下一条邻接边的编号。
那么head数组是干什么的呢？
这个就相当于邻接链表中的表头数组，head[u]就表示顶点u的某一条邻接边。根据这条边的next，就能找出顶点u所有的邻接边。
如果还是很难想象，没关系，我们可以先来模拟一下。对于上文的示例，作为无向图，假设边权全为1，如果题目给数据，会给出如下数据，由于已经说明是无向图，就不必每条边都正反给出两次了。
5 5 //顶点数和边数
1 2 1
1 4 1
2 3 1
2 5 1
3 5 1
我先给出初始化和建图的代码，然后再做解释。

    for(int i=0;i<vexnumber;i++)
    {
        head[i]=-1;
    }
    cin>>edgenum;
    //由于是无向图，要正向反向都建边
    for(int i=0;i<2*edgenum;i+=2)
    {
        int from,to,v;
        cin>>from>>to>>v;
        //第一条
        edge[i].to=to;
        edge[i].val=v;
        edge[i].next=head[from];//类似链表头插
        head[from]=i;
        //第二条
        edge[i+1].to=from;
        edge[i+1].val=v;
        edge[i+1].next=head[to];
        head[to]=i+1;
    }

以下是模拟建图的过程
需要注意的是，下文edge数组图片中的from->to列并不出现在Edge结构体中，我将其写出来仅仅是为了直观的展示这条边的两个顶点。
初始情况
初始化head数组为-1，类似链表中的NULL。

初始edge数组.png
初始head数组.png

读入第一条边
由于第一条边是 1--2，而且图是无向图，所以要在1--2和2--1建边。更新edge[i].next为head[u]，同时更新head数组，使其值为相应的边的编号。这个操作类似链表的头插操作。

edge数组.png
head数组.png

读入第二条边

edge数组.png head数组.png

读入第三条边

edge数组.png head数组.png

读入第四条边

edge数组.png head数组.png

读入第五条边

edge数组.png head数组.png

这样建图就完成了，为了直观，画成邻接表形式，但注意下图并非真正的存储结构。

图的逻辑结构.png

对于图论题，遍历图是经常要做的操作。对于前向星，遍历图的操作依然类似邻接表。以下是遍历图的代码

for(int cur=1;cur<=vexnum;cur++)
{
    for(int k=head[cur];k!=-1;k=edge[k].next)
    {
        //相应操作
        //......
        //...... 
    }
}

思考一下就能看出，其中cur表示顶点，而k为cur的邻接边在edge数组中的下标。
仅仅只是看了数组中存储的东西，应该还是很难完全理解。因此希望读者自己模拟一遍，加深理解。
以上就是我对前向星的理解。其实前向星采用的就是邻接链表的思想，只不过存储的是顶点的邻接边，并且用数组实现。总而言之，前向星节省空间，便与实现，是存储图的很优秀的数据结构。只要理解其原理，在做赛题的时候省时省力，事半功倍。