傅里叶变换

作者: 潘旭 | 来源:发表于2020-03-22 19:20 被阅读0次

傅里叶变换

傅里叶变换的物理现象

七色光

光的色散

当白色的光经过三菱镜的时候，就会分解成七色光。这就是一种傅里叶变换，将白色光分解成其中颜色的光，逆变换是七色光合成白色光。

光是具有波粒二象性，所以我们可以认为光是波，那么，他的函数就是 $sin(nx)$ , 其中 $n$ 表示频率, 每一种颜色的光都是一个正弦波函数，所以白色光的函数表示就是:

$f(x) = \sum_{n=1}^{7}{a_{n}sin(nx)}$

我们看到的是7色光，而实际上是无穷多光，所以标准的表达式:
$f(x) = \sum_{-\infty}^{\infty}{a_{n}sin(nx)}$

我们如何分辨声音？

混合声波

我们能够同时听到各种各样的声音，但是，我们的大脑弄将噪音剔除，而听清楚人的说话声音。这个过程与七色光是类似的。每一个声音都是一个波，那么，大脑将声音分解出来，将自己不想听的声波过滤掉，就是滤波，那么，就能够从混合的声音中听清楚想要的声音了。

小结

前面所说的例子，都涉及到一个操作，就是变换，这种变换就傅里叶变换，将一个函数分解成若干个函数的线性组合。

傅里叶级数

先从傅里叶级数入手。对于任意一个周期函数 $f(x)$ 其周期为 $T$ , 其可以分解成如下:

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} {a_n cos(\frac{2\pi n}{T}x) + b_nsin(\frac{2\pi n}{T}x)}, 其中 n \in N$

为什么是上面的公式？从几个方面来解释, 1. 周期 2. 函数分解 3. 函数的基

周期

因为 $f(x)$ 的周期是 $T$ , 所以，我们选择的函数，需要也是周期是 $T$ , 在上面的式子中, $sin(\frac{2\pi n}{T}x)$ 的最小周期是 $T^{'} = 2\pi / \frac{2\pi n}{T} =\frac{T}{n}$ ，因为其最小周期是 $\frac{T}{n}$ ，所以 $T$ 也是其周期。

例如 $T=2\pi$

$n=1$ 时, $T^{'}=2\pi$
$n=2$ 时, $T^{'}=\pi$ , 最小周期是 $\pi$ 所以 $2\pi$ 也是其周期。

通过上面的解释，我们知道 $sin(\frac{2\pi n}{T}x)$ 和 $cos(\frac{2\pi n}{T}x)$ 都是满足周期是 $T$ 的。

函数分解

任何一个函数都能够分解成一个奇函数和一个偶函数的和。

$f(x) = \frac {f(x) - f(-x) + f(x) + f(-x)}{2} = \frac {f(x) - f(-x)}{2} + \frac{f(x) + f(-x)}{2} = f_{奇函数} + f_{偶函数}$

因为

$g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}, g(-x) = -(\frac{f(x) - f(-x)}{2}) = -g(x)$
所以 $g(x)$ 是奇函数; 同理可以证明 $\frac{f(x) + f(-x)}{2}$ 是偶函数。

函数的基

在介绍函数的基，先看看向量基，这是我们熟悉的事情。对于直角坐标系任意点

$\begin {bmatrix} x\\y \end {bmatrix}$

都可以通过两个基本向量来表示, 分别是 $[1,0]^T$ 和 $[0,1]^T$ , 也就是:

$[x, y]^T = x[1,0]^T + [0,1]^T$

三维的也同样, $[x,y,z] = x[1,0,0] + y[0,1,0] + z[0,0,1]$

在向量空间，我们将 $[1, 0]$ , $[0, 1]$ 称作基向量，而任何一个向量都可以通过基向量的线性组合来表示出来。

那么，函数能否有类似的这样一组基来表示成函数基的线性组合呢？如果能够表示成基的线性组合，那么函数的分解这个问题也就解决了？

看看向量基具备的特性，然后，我们在仿照来寻找函数基.

向量满足正交性。也就是

$x \cdot y = 0$ , 例如 $[1, 0] \cdot [0, 1] = 0$ 。
$x \cdot x = 1$

顺便说一下, 其实代表了两个向量的相似度，正交基是垂直的所以相似度为0.

函数基正交性

根据向量的正交性，可以推断出函数的正交性是满足

$\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)g(x)dx} = 0$
$\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)f(x)dx} = 1$

现在来考察 $sin( \frac {2n\pi}{T}x)$ , 为了简单起见，令 $T=2\pi$ , 考察 $[-\pi, \pi]$ 区间, 这样就是看 $sin(nx)$ 与 $cos(mx)$ .

$\int_{-\pi}^{+\pi}{sin(nx)cos(mx)dx} = \int_{-\pi}^{+\pi}{sin(nx)cos(mx)dx} = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{+\pi}{sin(n+m)x + sin(n-m)x} = \frac{1}{2}({cos(n+m)x|_{-\pi}^{\pi} + cos(n-m)x|_{-\pi}^{\pi})}$

当 $m \ne n$ 时, $\int_{-\pi}^{+\pi}{sin(nx)cos(mx)dx}=0$
当 $m == n$ 时, $\int_{-\pi}^{+\pi}{sin(nx)cos(mx)dx}=\pi$

所以与向量的正交性定义是一致的，所以认为 $sin(nx)$ 与 $cos(mx)$ 是正交的。

同样的方式，可以证明以下是正交的:

$sin(nx), sin(mx)$
$cos(nx), cos(mx)$
$1, sin(nx)$
$1, cos(nx)$

所以， $1, sin(nx), cos(mx)$ 是正交的，这也就是我们看到的傅里叶表达式，可以通过这三个正交基来线性组合表达的方式。

$a_0,a_n,b_n$ 系数求解

有了函数正交基的概念，求解系数就变得非常容易，因为相互正交的积分为0, 自己与自己正交为 $\pi$ 。先求解 $a_n$

为了简单，我们假设 $T=2\pi$ , 对 $f(x)$ 两边同时乘以正交基 $cos(nx)$ 并积分。如下:

$\int_{-\pi}^{+\pi} {f(x)cos(nx)} dx = \\ \int_{-\pi}^{+\pi} {\frac{a_0}{2}cos(nx)}dx + \sum_{n=1}^{+\infty}{\int_{-\pi}^{+\pi} {a_n cos(nx)cos(nx)}dx} + \sum_{n=1}^{+\infty}{\int_{-\pi}^{+\pi} {b_n sin(nx)cos(ns)}dx} \\ = 0 + \int_{-\pi}^{+\pi} {cos(nx)cos(nx)}dx + 0 = a_n\int_{-\pi}^{+\pi} {cos(nx)cos(nx)}dx = a_n\pi$

所以有

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} {f(x)cos(nx)} dx$

同理也可以推导出 $b_n$

$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} {f(x)sin(nx)} dx$

对于 $a_0$ 来说，乘以 $1$ 后做积分即可。

$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}{f(x)} dx$

可以看出每一个系数实际就是 $f(x)$ 乘以其相应正交基的积分。

上面是假设 $T=2\pi$ ，那么，去掉这个限制，用 $T$ 来表示，就是如下:

$a_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0 + T} {f(x)cos(nx)} dx$

$b_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} {f(x)sin(nx)} dx$

$a_0 = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T}{f(x)} dx$

利用傅里叶级数来求解一些有意思的级数和

求 $f(x)$ 的傅里叶级数，当 $x \in [0, \pi], f(x)=1; x\in[-\pi,0], f(x)=0$ .

依据公式，求得:

$a_0 = 1$ , $a_n = 0$ , $b_{2k-1} = \frac{2}{\pi}{\frac{1}{2k-1}}, b_{2k}=0$

所以

$f(x) = \frac {1}{2} + \sum_{n=2k-1}^{+\infty}{\frac {2}{\pi}{\frac{sin((2k-1)x)}{2k-1}}}, k \in N$

令 $x=\frac{\pi}{2}$ , 有

$f(\frac{\pi}{2})=1=\frac{1}{2} + \frac {2}{\pi}(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ...)$
所以有:

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... = \frac{\pi}{4}$

这么神奇的级数和。

在复数域内的傅里叶级数

欧拉公式:

$e^{i\theta} = cos\theta + isin\theta$

通过欧拉公式，变换得到:

$cos(nx) = \frac{e^{nix} + e^{-inx}}{2}\\ sin(nx) = \frac{e^{nix} - e^{-inx}}{2i}$

带入到傅里叶级数中有:

$f(x) = \frac {a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}{a_n \frac{e^{nix} + e^{-inx}}{2} + b_n \frac{e^{nix} - e^{-inx}}{2i}} \\ = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}{a_n \frac{e^{nix} + e^{-inx}}{2}} + \sum_{n=1}^{+\infty}{b_n \frac{e^{nix} - e^{-inx}}{2i}} \\ = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{a_n - ib_n}{2} e^{nix}} + \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{a_n + ib_n}{2} e^{-nix}} \\ = \frac{a_0}{2}e^{0ix} + \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{a_n - ib_n}{2} e^{nix}} + \sum_{n=-1}^{-\infty}{\frac{a_n + ib_n}{2} e^{nix}} \\ = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}{c_n e^{nix}}$

通过上面的等式，也可以得出:

$c_0 = \frac {a_0}{2} \\ c_n = \frac {a_n + ib_n}{2}, n>0 \\ c_n = \frac {a_n + ib_n}{2}, n<0$

现在复数域上傅里叶变换的表达式就是:

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}{c_n e^{nix}}, n \in Z$

在这种变化下，正交基是 $e^{nxi}$ 与 $e^{-nxi}$ 。也就是:

$\int_{-\pi}^{+\pi} {e^{nxi} e^{-mxi}}dx = \int_{-\pi}^{+\pi} e^{(n-m)xi}dx = e^{(n-m)i} | _{-\pi}^{+\pi}$

当 $n==m$ 时, $\int_{-\pi}^{+\pi} {e^{nxi} e^{-mxi}}dx = 2\pi$

当 $n\ne m$ 时, $\int_{-\pi}^{+\pi} {e^{nxi} e^{-mxi}}dx = 2\pi = 0$

所以也是符合符合正交基的定义的。有了正交基，计算 $c_n$ 就方便了，两边乘以 $e^{-nxi}$ 积分即可。所以有:

$\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)e^{-nxi}dx = c_n$

前面的计算是假设 $T = 2\pi$ , 更通用的公式是:

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}{c_n e^{\frac{2\pi nx}{ T }i}}, n \in Z \\ c_n = \frac{1}{T}\int_{-x_0}^{x_0+T}f(x)e^{-i\frac{2\pi nx}{ T }}dx$

频域

傅里叶级数将函数从时域转换到频域。我们将傅里叶级数稍稍变化一下写法，以向量的形式写出来。就是:

$f(x) = [\frac {a_0}{2}, a_1, b1, ..., a_n, b_n, ...] \cdot [1, cos(1x), sin(1x), ..., cos(nx), sin(nx), ...]^T$

$f(x) = [c_0, c_1, ..., c_n, ...] \cdot [e^{0i}, e^{1xi}, ..., e^{nxi}, ...]^T$

我们将系数向量单独看，也就是说任何一个函数 $f(x)$ , 如果，我们知道了系数向量也就知道了 $f(x)$ , 因为函数基的向量都是一样的，每一个函数基又是周期函数，所以频率就代表了这个函数基，这样周期函数组成的函数基空间，就是频域。可以用下面的式子来表达:

$f(x) \xrightarrow[]{F.T} C_n$

$C_n$ 是 $f(x)$ 的傅里叶级数变换; $f(x)$ 是 $C_n$ 的逆变换。如果讲 $C_n$ 以 $(n, C_n)$ 为坐标系绘制成图像，就是频谱。

傅里叶系数能量

目前为止，我们使用了两种变换，分别是实数域变换和复数域变换，变幻出了不同的系数。那么，这些系数有什么含义？

在正弦函数基变化下，我们知道对于 $Asin(\omega x + \phi)$ 其中, $A$ 是振幅，也就是代表了正弦波的能量。所以不论在哪种分解下，都是能量在不同的维度上的分解。

$\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)dx = \frac {a_0^2}{4} + \sum_{n=1}^{\infty} {(a^2_n + b^2_n)}$

对于复数域上:
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x) \overline{f(x)}dx = \sum_{-\infty}^{+\infty}c^2_n$
其中 $\overline{f(x)}$ 表示 $f(x)$ 的共轭。

所以这些系数也可以看做是能量。上面的推导，也叫: 帕塞瓦。

傅里叶变换

前面的傅里叶级数是基于周期是 $T$ 的周期函数变换而来。那么对于非周期函数如何解决呢？可以将其转化成 $T \rightarrow +\infty$ 的函数来看待。为了方便，我们假设周期 $T = 2L$ .

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} {c_n e^{i\frac{\pi nx}{L}}}$

$c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{+L} {f(x) e^{-i\frac{\pi nx}{L}}} dx$

令

$\omega = \frac {\pi n}{L}, d\omega = \frac{\pi (n+1)}{L} - \frac{\pi (n)}{L} = \frac{\pi}{L}$

将以上带入 $f(x)$ 有:

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} {(\frac{d\omega}{2\pi} \int_{-L}^{+L} {f(x) e^{-i{\omega}x} dx}) e^{i \omega x}} \\ = \int_{-\infty}^{+\infty}(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x) e^{-i{\omega}x} dx}) e^{i \omega x} d\omega$

令:
$g(\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x) e^{-i{\omega}x} dx}$

有:

$f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} { g(\omega) e^{i \omega x} d\omega}$

这与傅里叶级数的形式是一样的（一个是积分一个是求和）, $e^{i \omega x}$ 是函数基。 $f(x)$ 的傅里叶变换就是 $g(\omega)$ , $f(x)$ 是 $g(\omega)$ 的傅里叶逆变换， $f(x) \leftrightarrow g(\omega)$ 。 $g(\omega)$ 就是频率曲线。

$C_n$ 绘制出来是频谱，那么 $g(\omega)$ 就是曲线。

傅里叶变换

这幅图很好的说明了这个过程:

图(a): 是周期是 $T$ 的时候， $C_k$ 是离散的频谱
图(b): 将 $T$ 拉长， $T$ 越大 $\omega$ 越小，函数基 $e^{i\frac{2\pi n x}{T}}$ 越小，看到 $C_k$ 频谱越来越密集
图(c): 当 $T \rightarrow +\infty$ , $C_k$ 频谱就变成了频率曲线。

傅里叶变换性质

$f(x) \leftrightarrow g(\omega)$ , 那么 ${f(x)}'$ 的傅里叶变换 ${g(\omega)}'$ 是什么呢？直接计算:

${g(\omega)}' \\ = \frac{1}{2 \pi} {\int_{-\infty}^{+\infty} {{f(x)}' e^{-i\omega x}} dx} \\ = \frac{1}{2 \pi} (f(x)e^{-i\omega x}|_{-\infty}^{+\infty} + i\omega{\int_{-\infty}^{+\infty} {{f(x)} e^{-i\omega x}} dx} ) \\ = i\omega \frac{1}{2 \pi} {\int_{-\infty}^{+\infty} {{f(x)} e^{-i\omega x}} dx} ) \\ = i\omega g(\omega)$

所以 ${f(x)}' \leftrightarrow i\omega g(\omega)$ 。这个性质在解微分方程的时候，非常方便。
帕塞瓦定理:

$\int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|^2dx = \frac {1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} |g(\omega)|^2d\omega$

卷积的傅里叶变换。 $f(x), g(x)$ 卷积操作的傅里叶变换推导:

$F(f \star g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} ({ \int_{-\infty}^{+\infty} {f(\tau) g(x - \tau) d\tau }) e^{-i \omega x} dx} \\ = \int_{-\infty}^{+\infty} {f(\tau) d\tau} \int_{-\infty}^{+\infty} {g(x - \tau)} e^{-i \omega x} dx \\ = \int_{-\infty}^{+\infty} {f(\tau) d\tau} \int_{-\infty}^{+\infty} {g(x - \tau)} e^{-i \omega (x - \tau)} e^{-i \omega \tau} d(x-\tau) \\ = \int_{-\infty}^{+\infty} {f(\tau) e^{-i \omega \tau}d\tau} \int_{-\infty}^{+\infty} {g(x - \tau)} e^{-i \omega (x - \tau)} d(x-\tau) \\ = F(\omega)G(\omega)$

所以 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的卷积的傅里叶变换就是，独自傅里叶变换的乘积。

$f \star g \rightarrow FG$

离散傅里叶变换

在实际的情况中，我们很难获得连续的值，那么，就通过等间距采样来获得信号数据。那么，离散的采样回来的数据，如何进行傅里叶变换？这就是离散傅里叶变换 D.F.T。

假设采样了 $N$ 个等间距的点, 获得数据是 $[x_0, ..., x_{N-1}]$ ，令 $f[n] = x_n$ , 离散傅里叶变换的表达式如下:

$\mathscr{F}(f[n])[k] = \sum_{n=0}^{N-1} {f[n] e^{\frac {-2\pi i}{N} kn} } = \sum_{n=0}^{N-1} {x_n e^{\frac {-2\pi i}{N} kn} }$

令 $\omega = e^{\frac {-2\pi i}{N}}$ , 就有:

$\mathscr{F}(f[n])[k] = g(k) = \sum_{n=0}^{N-1} {x_n \omega^{kn} }$

上面的的式子可以写成矩阵的形式:

$\mathscr{F}(f[n]) = G = \begin{bmatrix} g_0 \\ g_1 \\ g_2 \\ ... \\ g_{N-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 1& 1& ...& 1\\ 1& \omega & \omega^2 &...& \omega^{N-1} \\ 1& \omega^2 & \omega^4 & ... & \omega^{2(N-1)} \\ ...& ...& ...& ...& ...& \\ 1& \omega^{N-1} & \omega^{2(N-1)} & ... & \omega^{(N-1)(N-1)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_{N-1} \end{bmatrix} = \Omega F$

这就是离散傅里叶变换。那么，离散傅里叶变换的逆变换如何计算呢？就是对变换矩阵 $\Omega$ 求逆矩阵即可。

$F = \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_{N-1} \end{bmatrix} = \frac {1}{N} \begin{bmatrix} 1& 1& 1& ...& 1\\ 1& \omega^{-1} & \omega^{-2} &...& \omega^{-(N-1)} \\ 1& \omega^{-2} & \omega^{-4} & ... & \omega^{-2(N-1)} \\ ...& ...& ...& ...& ...& \\ 1& \omega^{-(N-1)} & \omega^{-2(N-1)} & ... & \omega^{-(N-1)(N-1)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} g_0 \\ g_1 \\ g_2 \\ ... \\ g_{N-1} \end{bmatrix} = \frac {1}{N} \Omega^{-1} G$

总结

到此已经将傅里叶级数，傅里叶变换，离散傅里叶变化以及傅里叶变换的卷积相关性质介绍完毕。

傅里叶变换

傅里叶变换

傅里叶变换的物理现象

七色光

我们如何分辨声音？

小结

傅里叶级数

周期

函数分解

函数的基

函数基正交性

$a_0,a_n,b_n$ 系数求解

利用傅里叶级数来求解一些有意思的级数和

在复数域内的傅里叶级数

频域

傅里叶系数能量

傅里叶变换

傅里叶变换性质

离散傅里叶变换

总结

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