理解C语言浮点数的存储

IEEE-754标准

目前世界上使用最为广泛的小数表示方法是浮点数表示法，而浮点数通用的算术标准是IEEE-754标准。什么是IEEE？

IEEE 电气和电子工程师协会（IEEE，全称是Institute of Electrical and Electronics Engineers）是一个美国的电子技术与信息科学工程师的协会，是世界上最大的非营利性专业技术学会，其会员人数超过40万人，遍布160多个国家。IEEE致力于电气、电子、计算机工程和与科学有关的领域的开发和研究，在航空航天、信息技术、电力及消费性电子产品等领域，已制定了900多个行业标准，现已发展成为具有较大影响力的国际学术组织

—— 引自百度百科

之所以要写这么一篇文章，是因为我想要搞懂 C语言对double和float的表示和存储细节。之前自己弄懂了，不过由于没有对文件进行备份，导致我的实验的代码和笔记都被误删了，连带被误删的还有一篇探究字节序（大小端）的笔记和代码，以及一篇关于开平方根算法和编码的笔记（X86架构有开平方根的及其指令，超快）。这些使我意识到了将笔记转化为文章并分享到网上的必要性。

这篇文章并非细致认真的标准解读手册，只是想探究一下double和float的二进制存储序列。

C 中的浮点数表示

我们知道，C语言的浮点数分为单精度和双精度，单精度的float采用位二进制（字节）来存储，而双精度的double使用位，另外还有一种占位（个字节）的临时数。

一个浮点数的存储分为3个部分，分别是符号位，阶码和尾数，那么这三部分是如何组合而成为一个浮点数整体的呢？

对于一个位浮点数，我们可以用下面的这张示意图来表示它的各个部分的长度及顺序。其中一个等号=表示一个二进制位，|表示隐含的边界。

|=|===========|===================================================|
|s|-exponent--|--------------------mantissa-----------------------|

上面的图示中，s(sign)为符号位，占 bit，用来表示整个double的正负性；中间部分exponent是指数部分，即阶码，占 bit；最后的也是最长的一部分mantissa，尾数，占位，它的长度直接影响力浮点数的精度。

下面是这三个部分的具体细节

• 符号位跟整数一样，符号位取表示无符号，为正数；取表示有符号，为负数。

• 指数部分采用的是移码表示法并且采用的是余1023码，也就是说，指数部分的位没有符号位，在计算时，要先将这位看作一个正整数，然后减掉之后才得真正的指数。

• 关于尾数部分，有一点需特别注意，尾数部分的值总是 1.M，而1.M中的1是被隐藏了的。为什么呢？这样做有什么意义？
  我们知道，一个十进制数采用科学计数法表示的话，形式是 其中。类推一下，就可以知道，一个进制的科学计数法，小数的整数部分的取值范围是，所以在二进制中，小数部分的取值范围是，这个范围内的实数，整数部分都是，所以这个1是大家共有的，于是就没有存储的必要性了，因为

你爱，或者不爱
爱就在那里，不增不减

你存，或者不存
它就在那里，不大不小

上面讲述了double类型的存储。一个double占各二进制位，而一个float则占用位，包括位符号位、位指数位和位尾数位。

提取一个double的各个部分

下面，我们用C语言编写一个程序来打印一下一个double的各个部分的二进制及十进制。相信理解了这段代码，你就真的理解浮点数的表示了。

#include <stdio.h>
#include <assert.h>

#define NM (1LL << 63)  /* negative most */
#define PM ~NM          /* positive most */
#define LL(d) *((long long*)&(d))
#define EZ(d) LL(d) &= (PM >> 1), LL(d) |= (1023LL << 52)

int sign(double d) { return (LL(d) >> 63) & 1LL; }
int exponent(double d) { return (LL(d) >> 52) & 0x7ff; }
// `EZ(d) -> LL(d) &= (PM >> 1), (LL(d) >> 52) & 0x7ff;`
// 将`d`的指数部分的$11$位填上$1023$(低$10$位全$1$，最高位为$0$)
// 因为采用的是余$1023$码，所以这条语句的目的是将指数部分变为$0$
double mantissa(double d) { return EZ(d), d; }

#define sign(d) (sign(d)? -1 : 1)
#define exponent(d) (exponent(d) - 1023)

/* print binary of a double */
void printbd(double d)
{
    /* from left to right */
    printf("%+g =\n", d);
    printf("%4c", 32);
    for (int i = 0; i < 64; ++i) {
        if (i == 0 || i == 1 || i == 12)
            putchar('|');
        // 这里只能用右移，因为 (long long -> int) 要截断到低32位
        putchar(((LL(d) >> (63 - i)) & 1LL) + '0');
    }
    printf("|\n");
    printf("%4c", 32);
    printf("%+d * %g * 2^(%d)\n", sign(d), mantissa(d), exponent(d));
}


int main()
{
    assert(sign(+0.5) == +1);
    assert(sign(-0.5) == -1);

    printbd(-0.05);
    printbd(+0.05);
    printbd(-0.5);
    printbd(+0.5);
    printbd(-1.0);
    printbd(+1.0);
    printbd(-2.0);
    printbd(+2.0);
    printbd(-9.0);
    printbd(+9.0);
    printbd(-10.0);
    printbd(+10.0);

    return 0;
}

另外一些需要注意的细节

因为采用的是移码表示法，所以不像补码表示法，可以直接从二进制判断一个数的大小。指数部分全为时，指数部分的取值最大。
对于正负无穷及不合法的运算结果，IEEE标准规定

• 如果指数部分是并且尾数的小数部分是，则表示（符号位相关）；
• 如果指数部分全为，并且尾数的小数部分是，则表示；
• 如果指数部分全为，并且尾数的小数部分不为，那么表示Not a Number，即。

附录

前文代码的运行结果

-0.05 =
    |1|01111111010|1001100110011001100110011001100110011001100110011010|
    -1 * 1.6 * 2^(-5)
+0.05 =
    |0|01111111010|1001100110011001100110011001100110011001100110011010|
    +1 * 1.6 * 2^(-5)
-0.5 =
    |1|01111111110|0000000000000000000000000000000000000000000000000000|
    -1 * 1 * 2^(-1)
+0.5 =
    |0|01111111110|0000000000000000000000000000000000000000000000000000|
    +1 * 1 * 2^(-1)
-1 =
    |1|01111111111|0000000000000000000000000000000000000000000000000000|
    -1 * 1 * 2^(0)
+1 =
    |0|01111111111|0000000000000000000000000000000000000000000000000000|
    +1 * 1 * 2^(0)
-2 =
    |1|10000000000|0000000000000000000000000000000000000000000000000000|
    -1 * 1 * 2^(1)
+2 =
    |0|10000000000|0000000000000000000000000000000000000000000000000000|
    +1 * 1 * 2^(1)
-9 =
    |1|10000000010|0010000000000000000000000000000000000000000000000000|
    -1 * 1.125 * 2^(3)
+9 =
    |0|10000000010|0010000000000000000000000000000000000000000000000000|
    +1 * 1.125 * 2^(3)
-10 =
    |1|10000000010|0100000000000000000000000000000000000000000000000000|
    -1 * 1.25 * 2^(3)
+10 =
    |0|10000000010|0100000000000000000000000000000000000000000000000000|
    +1 * 1.25 * 2^(3)