时间：2018-07-16 作者：魏文应

一、正数和负数的表示方法

我们知道，正数和它的相反数相加时，会等于0，比如 1 + (-1) = 0, 33 + (-33) = 0。使用二进制，我们可以暂时规定，最高位是0 表示是正数， 最高位是1 表示负数：

• 正数和负数表示

二、为什么需要补码？

我们有下面假设：

• 我们用 0000 1111 表示 +7 正数7，用 1000 1111 表示 -7 负数 -7，那么相加的结果就是 1001 1110 。

• 我们用 0000 0001 表示 +1 ，用 1000 0001 表示 -1，相加结果是 1000 0010 。

上面两个例子， 7 + (-7) = 0 = 1001 1110、1 + (-1) = 0 = 1000 0010 。我们发现，同样表示0，二进制的结果不一样。这当然不是我们想要的，我们希望二进制相加的0的结果一直是 0000 0000。下面我们换个思路来表示数值：

• 正数保持不变， 0000 1111 依然表示 +7 。

• 找一个数和 0000 1111 相加，使其结果为 0000 000 。这个数计算如下：

  0000 1111 + 1111 0000 + 1 = (1) 0000 0000
  

  计算结果为 1 0000 0000 ，我们把第九位直接丢弃，结果就是我们想要的 0000 0000 。

• 观察发现，只要在正数的基础上，取反并加1，就能使得 这个正数 和 取反并加1 相加的结果为 0000 0000。也就说，正数 取反并加1 这个正数对应的相反数。比如：正数1 可以通过这种方式，求得正数 -1的二进制反码写法。

• 上面 1111 0000 + 1 就是我们要求的 补码 了。

把 0111 0000 取反就是 1000 1111，把 0011 0000 取反就是 1100 1111，我们发现，都会有一个 独一无二 的反码和原码对应。也就意味着补码也是独一无二的：

• 从 0000 0001 到 0111 1111 ，就是 1 ~ 127 。

• 从 1111 1110 + 1 到 1000 0000 + 1 ，就是 -1 ~ -127 。

• 0000 0000 表示 0。这时发现 1000 0000 还没有用，怎么办？思来想去，最后设计芯片逻辑运算的那帮家伙说：“算了，用它来表示 -128 吧！！！” 也正是这个原因，导致有了 -128 没有反码 这种说法的产生。