浮点数为什么不精确？

姓名：牛康  学号：17101223416

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【嵌牛导读】：在日常的编码过程中经常会看到浮点数的存在，那浮点数到底精不精确呢？

【嵌牛鼻子】：浮点数

【嵌牛提问】：浮点数的正确玩法是怎样的呢？

【嵌牛正文】：

一、浮点数为什么不精确？

其实这句话本身就不精确， 相对精确一点的说法是： 我们码农在程序里写的10进制小数，计算机内部无法用二进制的小数来精确的表达。

什么是二进制的小数？ 就是形如 101.11  数字，注意，这是二进制的，数字只能是0和1。

101.11 就等于 1 * 2^2 +0 *2^1 + 1*2^0 + 1*2^-1 + 1*2^-2  = 4+0+1+1/2+1/4 = 5.75

下面的图展示了一个二进制小数的表达形式。

从图中可以看到，对于二进制小数，小数点右边能表达的值是 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64,  1/128 ...  1/(2^n）

现在问题来了， 计算机只能用这些个 1/(2^n） 之和来表达十进制的小数。

我们来试一试如何表达十进制的 0.2 吧。

0.01  = 1/4  = 0.25  ,太大

0.001 =1/8 = 0.125 , 又太小

0.0011   = 1/8 + 1/16 = 0.1875 , 逼近0.2了

0.00111 = 1/8 + 1/16 + 1/32 = 0.21875  , 又大了

0.001101 = 1/8+ 1/16 + 1/64 = 0.203125  还是大

0.0011001 = 1/8 + 1/16 + 1/128 =  0.1953125  这结果不错

0.00110011 = 1/8+1/16+1/128+1/256 = 0.19921875

已经很逼近了， 就这样吧。

这就是我说的用二进制小数没法精确表达10进制小数的含义。

二、浮点数的计算机表示

那计算机内部具体是怎么表示的呢？

计算机不可能提供无限的空间让程序去存储这些二进制小数。

它需要规定长度，  在Java 中， 提供了两种方式： float 和double ， 分别是32位和64位。

可以这样查看一下一个float的内部表示（以0.09f为例）：

Float.floatToRawIntBits(0.09f)

你将会得到：1035489772， 这是10进制的， 转化成二进制， 在前面加几个0补足 32位就是：

0 01111011 01110000101000111101100

你可以看到它分成了3段：

第一段代表了符号(s)  :  0 正数，  1 负数  ， 其实更准确的表达是 (-1) ^0

第二段是阶码(e)：01111011 　，对应的10进制是　123

第三段是尾数(M)

你看到了尾数和阶码，就会明白这其实是所谓的科学计数法:

(-1)^s  * M *  2^e

对于0.09f 的例子，就是：

0101110000101000111101100 * (2^123)

好像不对，这肯定远远大于0.09f  !

这是因为浮点数遵循的是IEEE754 表示法， 我们刚才的s(符号) 是对的，但是 e(阶码)和 M（尾数）需要变换：

对于阶码e ， 一共有8位， 这是个有符号数， 特别是按照IEEE754 规范，如果不是0或者255， 那就需要减去一个叫偏置量的值，对于float 是127

所以 E  = e - 127 = 123-127 = -4

对于尾数M ，如果阶码不是0或者255，  他其实隐藏了一个小数点左边的一个 1 （节省空间，充分压榨每一个bit啊）。

即 M = 1.01110000101000111101100

现在写出来就是:

1.01110000101000111101100 * 2^-4

=0.000101110000101000111101100

= 1/16 + 1/64 + 1/128+ 1/256 + ....

= 0.0900000035762786865234375

你看这就是0.09的内部表示， 很明显他比0.09更大一些， 是不精确的！

64位的双精度浮点数double是也是类似的， 只是尾数和阶码更长， 能表达的范围更大。

符号位 ：1位

阶码 ： 11位

尾数： 52位

上面的例子0.09f 其实是所谓的规格化的浮点数， 还有非规格化的浮点数，这里就不展开了。

三、使用浮点数

由于浮点数表示的这种“不精确性”或者说是“近似性”， 对于精确度要求不高的运算还行， 如果我们用float或者double 来做哪些要求精确的运算（例如银行）时就要小心了,很可能得不到你想要的结果。