原题

LintCode 109. Triangle

Description

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

Notice

Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

Example

Given the following triangle:

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

解题

我们先忽略Notice的空间限制，采用动态规划来解决这道题。
因为从上到下遍历的话需要判断很多边界条件，为了方便我们从下至上遍历整个三角形。

状态转移方程（从下至上遍历）：

dp[x][y] = min( dp[x+1][y], dp[x+1][y+1] ) + triangle[x][y]

解释：

从下至上走，每个位置的最短路径，是下一行的两个可选格子中比较小的，加上这个位置上的值。

其中最后一行的每个位置的最短路径，其实就是自己位置上的值。

我们只需要首先构建一个和triangle一样大的dp数组，
然后dp的最后一行直接赋予triangle最后一行的值（最后一行的最短路径就是值）
再根据这个状态转移方程，从下至上遍历整个三角形，计算出整个dp数组，就可以得到答案。

代码

class Solution {
public:
    /*
    * @param triangle: a list of lists of integers
    * @return: An integer, minimum path sum
    */
    int minimumTotal(vector<vector<int>> triangle) {
        // write your code here
        // dp数组完全复制一个triangle，有两个好处
        // 1. dp的大小和triangle完全一致
        // 2. 顺便复制了triangle的最后一行
        vector<vector<int>> dp(triangle);
        for (int i = triangle.size() - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j < triangle[i].size(); j++) {
                // 根据状态转移方程计算整个dp
                dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + triangle[i][j];
            }
        }
        // 顶端为答案
        return dp[0][0];
    }
};

空间复杂度O(n)

题目还有一个额外加分是，空间负责度控制在O(n)，其中n为triangle的行数，当然我们也可以理解为triangle最后一行的元素数量。

回顾刚刚动态规划的状态转移方程

dp[x][y] = min( dp[x+1][y], dp[x+1][y+1] ) + triangle[x][y]

我们可以发现，计算时，只需要依赖上一次计算的结果。
计算最终结果（第一行）的时候，我们只需要第二行的两个位置的最短路径；
计算第二行的时候，我们只需要第三行三个位置的最短路径；
最终计算倒数第二行的时候，我们只需要最后一行的n个位置的最短路径。

上述过程中，需要的最长的行就是最后一行，一共n的元素。
也就是说，只需要一个长度为n的数组，就可以存下所有所需的计算结果。

状态转移方程变为：

dp[i] = min( dp[i],  dp[i+1] ) + triangle[x][y]

代码

class Solution {
public:
    /*
    * @param triangle: a list of lists of integers
    * @return: An integer, minimum path sum
    */
    int minimumTotal(vector<vector<int>> triangle) {
        // write your code here
        // 直接复制triangle的最后一行，两个好处
        // 1. 长度正好为n
        // 2. 最后一行的值就是这行各个位置的最短路径
        vector<int> dp(triangle.back());
        for (int i = triangle.size() - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j < triangle[i].size(); j++) {
                // 根据状态转移方程计算dp
                dp[j] = min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle[i][j];
            }
        }
        // 第一个元素为答案
        return dp[0];
    }
};