函数

这学期的我们第一节课就进入了函数的单元，我们由此对函数有不断的认知，也不断的刷新。那么我问一下大家，函数是什么？你可能会觉得函数里面有一个数这个字，所以函数可能是一种数字，但是其实并不是这样，函数并不是数，函数指的是一种关系，为什么呢？那这种关系又是什么呢？

我先来举个例子，一个商店的李阿姨，他每天都会卖一些铅笔，他对每天卖出的铅笔数量和相应的收入做了一个统计：第一天的时候，卖出了两只，一共得了六块钱，第二天卖出了一只，得到了三块钱，第三天卖出了五只，得了15块钱，第四天卖了八只，得了24块钱。你可能会发现在每一天中收入与卖出的铅笔的比都是3比1，这也就是我们发现的规律，并且在这道题当中，整体是有两个量，就是变量与常量，变量顾名思义，就是会发生变化的量，而常量就是恒定不变的量，那么这道题的变量也就是他的收入和卖出的铅笔，因为每一天都不同，而他的常量，那应该就是铅笔的单价，无论你卖出去多少，得到了多少钱，你的一只铅笔一直都是三块钱。那我们再来看一下这个变量，这两个变量在逻辑上有没有什么先后的顺序呢？是有的，你会发现我们的收入是会随着卖出的铅笔数量增大而增大的，如果一定要分一前一后的话，那么一定就是卖出的铅笔在前，你的收入在后。那么可不可以收入在钱卖出的铅笔在后呢？你会感觉这样子怪怪的，因为从逻辑上讲，这应该是倒推的，那么我们现在得到了两种变量，第一个就是自变量，就像卖出来的铅笔，然后就是因变量，这个因变量是随着自变量的增大或缩小而增大或缩小，总的来说，因变量是随着自变量的变化而变化。还有就是一系列的变化当中，数值始终不变的量，叫做常量。

OK，现在我们就知道这些种种的关系了，下一步我们应该做什么？那一定就是要将这些东西表示出来，我们一共发现了三种表示的方法，那就是表格，关系式与直角坐标系，不要着急，请听我细细道来。

我们先来说一下，用表格的方法来表示吧！我们用图像表示也是非常的讲究的，在我们画一个表格的时候，我们都是把自变量放到上面，然后把因变量放到下面，下面我给大家展示一个表格。（如下图）

表格

你想一下，当我们看着这个表格的时候，我们是不是可以非常清晰很快的看到每一组数据，这就非常的nice，因为表格清晰简洁，这一定是表格的一个非常大的优势，但是另一种情况可能就不怎么适用了，比如说如果一个公司想要看他们的业绩如何，那么用表格的话，虽然数据可以非常清晰的看到，但是他们整个的变化趋势，我们却是看不到的，我们还得仔细分辨一下每一个数字，所以这也就是表格的劣势，并且表格可能也是有限制的，并不能表示出全部的可能。

接下来就到我们第二种表示的方法，那就是代数式，我出一道练习册上有过的一道题，我们一起来做一下。

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已知长方形的周长为16厘米，其中一边长为x厘米，面积为y平方厘米，则这个长方形的面积y与x之间的关系可表示为………。

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我们先来分析一下这道题的，因变量与自变量，那么因变量无非就是面积，也就是y，那么它的自变量也就是x，常亮就是它的周长，如果要用代数式来表示，那么就是因变量放在前面，因为我们关注的就是因变量，自变量放在后面，自变量会经过各种变化，然后得到因变量，那么我们就来表示一下这道题的关系。也就是y=（8-x）x，我们把它化简一下，也就是y=8x-x❷，那么我们现在就来分析一下关系式法的利弊吧，它的优势那么一定就是他可以表示一个普遍的规律，我们想要得到某一个数，也就可以根据这个关系式来得到，但是他也有一个弊处，那就是有一些情况，他可能会表示不了，比如说温度，你知道了不同时间段不同的温度，但是你可以用代数式来表示吗？看样子是不行的，因为如果你可以得出来一个关系式，那么我们就可以根据时间求出来温度，这样子，天气预报员不就失业了吗？所以面对一些极为复杂或者毫无规律的地方，我们也是无能为力的，并没有办法可以表示成关系式。

接下来就到了我们的重头戏，那就是平面直角坐标系。他啊，更讲究了，我们首先就是先要画出来坐标系，它一共分为两个轴，一个是x轴，另一个是y轴，X轴是我们横向可以看到的，Y轴是我们竖向可以看到的，当然也是有方向的，我们正常画一个数轴，它的方向一般都是规定是向右，那么也就从原点零开始，数字越往左越小，越往右也就越大，同时也分出了正负零，那么我们现在学到的这个直角坐标系，他一共有两个轴，那么第一个轴的方向就是向右，第二个方向就是向上，这两个轴也就垂直了，也就是直角，在他们中间相交的那个点，就是原点，那么如果像这样，就会分为四个象限，右上角是第一个象限，左上角是第二个象限，左下角是第三个象限，右下角是第四个象限，并且比如说x轴上面的每一个小格子，他们之间数字的差一定是一样的，比如说你规定是一，那么原点右边第二个格子上面的数字一定就是二，但是x轴与y轴的标准可以是不一样的，X轴可以是一，Y轴也可以是二，那么我们就可以通过这些数字在坐标系上标出唯一对应的一个点，这样我们就可以表示出来了，下图就是一个例图。

那么我们现在就可以在这个坐标系上画出我们要对应的点，但是平面直角坐标系有什么利弊呢？它的好处那么一定就是从整体上面来看，我们可以看出来他的变化趋势，这是非常的直观，可以感受的，但是它的劣势就是，我们可能无法准确的找到一个数字。

这就是我们画图的方法，我们到了，后来也学习了两种不同的函数，如果两个变量xy之间的对应关系，可以表示成y=kx+b（且k和b为常数，K不等于零），那么我们就会称y是x的一次函数，如果当b=0的时候，我们也就会枪y是x的正比例函数，当我们知道这些概念的时候，我们就会继续往下深入的学习，于是我们就有学习了一次函数的做图，也分析了一次函数，图像上面的两个关键的点，与坐标轴的交点，也进一步的探索了一次函数的性质，现在请听我细细道来。

我首先先学习了一次函数的作图步骤，在上一篇文章当中，我已经分析过了平面直角坐标系，把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，那么所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，母亲来取一个比较简单的正比例函数的图像，作为例子，比如y=2 x，我们该怎样画出它的图像呢？首先我们要列表，列出来一个表格，并且写出对应的数字，我一般列表会取三个数字，那就是1和0和-1，这三个数分别是正负零，原本是两个点就可以画出一条直线，但是现在我取三个数，那就避免出有其中一个点，我计算错误，所以我才会选择取三个数，当然，数字越多越好，我们先来看一下列表的图。

列完表以后，我们会建立出平面直角坐标系，但是在正规的数学书上面，却把这一步省略了，但是如果我们要秒点，肯定就是已经把平面直角坐标系建立好了，所以把这两不归成了一步，描点的过程当中，我们会以表中各组对应的数值作为点的坐标，并且会在平面直角坐标系中描出相应的点。接下来就是最后一步，那就是连线，把这些点依次连起来，那么现在我们就会得到y=2 x的图像，它是一条直线。如下图。

所以我们画图的步骤也就可以分为三部列表，描点与连线。

接下来我们就进入下一个板块，一次函数图像上面的两个比较关键的点，我们先来看一下y=-2x+1的图像。

这个图像中有哪一个点非常的特殊？我想可能就是（0，1）那个点吧，如果你举很多很多例子，并且一一画出来他们的图像，你可能就会发现，这个函数y=kx+b中，当b他是一个正数的时候，那么这个图像与y轴的交点就在正半轴，什么意思？就像看一下我们这个函数，y=-2x+1，一是那个b，这个一就是一个正数，而它对应的点就是处于y轴的正半轴，所以你理解我说的y=kx+b中当b是一个正数这个图像与y轴的交点在正半轴，所以如果这个b等于负数的话，那么它与y轴的交点就会处于负半轴，当然，如果这个b=0的时候，你就是正比例函数，那么她就会经过原点，所以现在我们已经总结出来了一个规律，函数y=kx+b的图像经过（0，b）。

那么我们如果想要知道处于x轴上面的那个点，他的y=0已经实锤，那么我们怎么求那个点呢？如下图所示。

这时候我们就可以把y=kx+b转化成0=kx+b，这样就是了一个方程，在套路我们刚才举的例子当中，也就是0=-2 x+1，我们也就可以把这个式子解出来，可以得到x的值，那么x轴和y轴两个数对应起来，我们就知道了，在x轴上面的这个焦点了。

那么这个我们所说的k，它用于这个图像有什么关系呢？当你列举了非常非常多的例子之后，并且画出他们的图像，你就会发现，当k大于0的时候，Y的值就随着x的值增大而增大，这时候他的图像是斜向上的。当k小于0的时候，味也就会随着x的值增大而减小，他的图像是斜向下的，所以我们也就经常把k成为斜率。我们还发现了一个特殊的情况，在几组函数当中，如果他们的k一样的话，那么它们的图像就是平行的。

最后你就会发现一个规律，交于x轴上面的那个点，是（-b/k，0），交于y轴上面的那个点，就是（0，B）。

当然，除了一次函数，还有另外两个一次，那就是一元一次方程和一元一次不等式，这又到底是怎么回事呢？我们都知道一次函数用Y=kx+B来表示，一元一次方程就可以举例为0=Kx+b，而一元一次不等式又分为两个，那就是kx+B>0和kx+B<0。那么这三者之间有什么联系与区别呢？一元一次方程，其实就是让你解x，因为它是一个等式，但是一元一次不等式，最后让你求的并不是一个确切的数字，而是一个范围，比如这个x一定是大于一的，而我们如果要求一元一次，不等式的话，我们就要数形结合，这时候就要运用到我们函数的简图了，在图像上找到与x轴的交点，这个图像如果是斜向下的，那么x越大y也就会越小，如果这个图像是斜向上的，X越大y也就会越大，通过这样我们就可以求出那个数的范围。

最后一个环节就是综合运用了，我们在实际情况中也会碰到非常多一次函数的情况，在这里我就不举例了。

最后一个板块，也就是未来发展，我们学一种术，需要有一个未来，哦，我们以后可能就会学二次函数，以及等等的函数，这些就留给我们以后去探索。