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第九章 聚类

9.1 聚类任务

无监督学习（unsupervised learning）：训练样本的标记信息是未知的，目标是通过对无标记训练样本的学习来揭示数据的内在性质及规律。
聚类：将数据集中的样本划分为若干个通常是不相交的子集（称为簇）。

9.2 性能度量

聚类性能度量外指标

• Jaccard系数（Jaccard Coefficient，简称JC）

• FM指数（Fowlkes and Mallows Index，简称FMI）

• Rand指数（Rand Index，简称RI）

上述性能度量的结果值均在[0,1]区间，值越大越好。

对于簇划分C={C₁,C₂,...,C_k}，定义

dist(·,·)是两个样本间距离
μ代表簇C的中心点
avg(C)对应于簇C内样本间平均距离
diam(C)对应于簇C内样本间的最远距离
d_min(C_i,C_j)对应于簇C_i与簇C_j最近样本点间的距离
d_cen(C_i,C_j)对应于簇C_i与簇C_j中心点间的距离

聚类性能度量内指标

• DB指数（Davies-Bouldin Index，简称DBI）

• Dunn指数（Dunn Index，简称DI）

9.3 距离计算

距离度量（distance measure）：函数dist(·,·)满足以下性质：

• 非负性：dist(x_i,x_j)>=0;
• 同一性：dist(x_i,x_j)=0当且仅当x_i=x_j;
• 对称性：dist(x_i,x_j)=dist(x_j,x_i);
• 直递性：dist(x_i,x_j)<=dist(x_i,x_k)+dist(x_k,x_j).

闵科夫斯基距离（Minkowski distance）

加权闵科夫斯基距离

p=2时，闵科夫斯基距离就是欧氏距离（Euclidean distance）

p=1时，闵科夫斯基距离就是曼哈顿距离（Manhattan distance）：

能直接在属性值上计算距离的属性称为有序属性，反之称为无序属性。
对无序属性可采用VDM（Value Difference Metric）。令m_u,a表示在属性u上取值为a的样本数，m_u,a,i表示在第i个样本簇中在属性u上取值为a的样本数，k为样本簇数，则属性u上两个离散值a与b之间的VDM距离为

将闵科夫斯基距离和VDM结合起来

非度量距离（non-metric distance）：不满足直递性。

9.4 原型聚类

算法先对原型进行初始化，然后对原型进行迭代更新求解。

9.4.1 k均值算法

9.4.2 学习向量量化

如果pi*和xj的标记相同，则令pi*向xj靠拢，反之令pi*远离xj

学得一组原型向量{p₁,p₂,...,p_q}后，即可实现对样本空间X的簇划分。对任意样本x，它能被划入其距离最近的原型向量所代表的簇中，即

称为Voronoi划分。

9.4.3 高斯混合分类

高斯分布的概率密度函数：

μ为n维均值，Σ是n×n的协方差矩阵，概率密度函数记为p(x|μ,Σ)

混合高斯分布：由k个高斯分布混合而成。

其中，“混合系数”α_i>0

假设样本的生成过程由高斯混合分布给出：首先，根据混合系数α_i（也是第i个混合成分的概率）定义的先验分布选择高斯混合成分；然后，根据被选择的混合成分的概率密度函数进行采样，从而生成相应的样本。
若训练集D={x₁,x₂,...,x_m}由上述过程生成，令随机变量z_j∈{1,2,...,k}表示生成样本x_j的高斯混合成分，其取值未知。显然z_j的先验概率P(z_j=i)对应于α_i(i=1,2,...,k).根据贝叶斯定理，z_j的后验分布对应于

简记为γ_ji(i=1,2,...,k)
将样本D划分成k个簇C，样本x_j的簇标记为λ_j要最大化γ_ji。
做一下极大似然估计

求导置0，解得

此外还要考虑α_i的和为1，则有拉格朗日函数

9.5 密度聚类

密度聚类算法假设聚类结构能通过样本分布的紧密程度确定。

• ε-邻域：N_ε(x_j)={x_i∈D|dist(x_i,x_j)<=ε}
• 核心对象x_j：|N_ε(x_j)|>=MinPts
• 密度直达：若x_j位于x_i的ε-邻域中，且x_i是核心对象，则称x_j由x_i密度直达。
• 密度可达：对x_i与x_j，若存在样本序列p₁,p₂,...,p_n，其中p₁=x_i，p_n=x_j且p_i+1由p_i密度直达，则称x_j由x_i密度可达。
• 密度相连：对x_i与x_j，若存在x_k使得x_i与x_j均由x_k密度可达，则称x_i与x_j密度相连。

9.6 层次聚类

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