摘要:本文研究了低通、高通、带通、带阻模拟滤波器和数字滤波器的频率响应特性,单位脉冲响应以及零极点分布图,并定性解释了零极点分布图与频率响应特性的关系。
1.Analog Filters
a.Low Pass
b.High Pass
c.Band Pass
d.Band Stop
Discussion
(1)比较四个模拟滤波器的频率响应,
,横坐标坐标归一化
。
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(2)比较四个模拟滤波器的相位响应
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(3)比较四个模拟滤波器的单位脉冲响应
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(4)比较四个模拟滤波器的零极点分布图

(5)定性分析零极点与频率响应的关系。
考虑:
- 当低通时,
很小,所以分子不能有
项,且必须有常数项,所以低通滤波器没有零点。
- 当高通时,
很大,所以分母要和分子同阶,故零极点的数目相同才能保证高频时
接近1。
- 分子分母同阶还有一个有趣的现象是,化简
时,会出现常数1,对应在
是
,表明在高频时,
的其他分量都与信号卷积为0,只有
的贡献,所以可以通过。这也是为什么
第二、四图中的
的位置为负的原因,
画不出来,只能画出其他部分。
- 带阻滤波器具有低通和高通的性质,所以有常数项,也有最高项;而带通滤波器没有低通和高通的性质,故没有常数项和最高项,但有平方项,故在某
处存在极值,即为通过的频率带。
(6)相位响应的分析将在下一个篇幅单独讨论,敬请期待。
2.Digital Filters
a.Low Pass
b.High Pass
c.Band Pass
d.Band Stop
Discussion
(1)比较四个数字滤波器的频率响应,
,横坐标坐标归一化
。

(2)比较四个数字滤波器的相位响应
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(3)比较四个数字滤波器的单位脉冲响应
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(4)比较四个滤波器的零极点分布图
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(5)定性分析零极点与频率响应的关系。
由零极点可以得到 的形式。考虑,不同的实际对应零极点图中单位圆上的不同位置:
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而的大小实际上等价于
两个零点表示乘两次。因此容易看出:
-
为低频0附近,图1图4的结果较大,表示低通和带阻滤波器可以低频通过。而图2图3的结果为零,表示高通和带通滤波器不能低频通过。
-
为高频
附近,图1图3的结果为0,表示低通和带通滤波器不能高频通过。而图2图4的结果较大,表示高通和带阻滤波器可以高频通过。
- 我们可以很容易从零点分布看出哪些频率的波不能通过。极点与x轴的位置会影响
的衰减情况。
相位响应
的分析将在下一个篇幅单独讨论,敬请期待。感谢中国MOOC学院北京交通大学陈后金老师《数字信号处理》的课程。
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