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Differences between four kinds o

Differences between four kinds o

作者: icfg66 | 来源:发表于2019-04-26 12:16 被阅读0次

摘要：本文研究了低通、高通、带通、带阻模拟滤波器和数字滤波器的频率响应特性，单位脉冲响应以及零极点分布图，并定性解释了零极点分布图与频率响应特性的关系。

1.Analog Filters

a.Low Pass

w_p=0.4\pi ; w_s=0.6\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;
H(s)=\frac {2.232}{s^3+2.614s^2+3.416s+2.232}

b.High Pass

w_p=0.6\pi ; w_s=0.4\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;
H(s)=\frac {s^3}{s^3+3.625s^2+6.569s+5.953}

c.Band Pass

w_{p_1}=0.4\pi ;w_{p_2}=0.6\pi; w_{s_1}=0.3\pi;w_{s_2}=0.7\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;
H(s)=\frac {0.4196s^2}{s^4+0.9161s^3+5.157s^2+2.17s+5.611}

d.Band Stop

w_{p_1}=0.3\pi ;w_{p_2}=0.7\pi; w_{s_1}=0.4\pi;w_{s_2}=0.6\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;
H(s)=\frac {s^4+4.737s^2+5.611}{s^4+1.539s^3+5.922s^2+3.646s+5.611}

Discussion

（1）比较四个模拟滤波器的频率响应|H(j\omega)|，\omega\subseteq[-2\pi,2\pi]，横坐标坐标归一化\pi。

4types_Hw.jpg
（2）比较四个模拟滤波器的相位响应
4types_fai.jpg
（3）比较四个模拟滤波器的单位脉冲响应
4types_ht.jpg
（4）比较四个模拟滤波器的零极点分布图
4types_pzmap.jpg
（5）定性分析零极点与频率响应的关系。
考虑：
  • 当低通时，\omega很小，所以分子不能有s项，且必须有常数项，所以低通滤波器没有零点。
  • 当高通时，\omega很大，所以分母要和分子同阶，故零极点的数目相同才能保证高频时|H(j\omega)|接近1。
  • 分子分母同阶还有一个有趣的现象是，化简H(s)时，会出现常数1，对应在h(t)是\delta(t)，表明在高频时，h(t)的其他分量都与信号卷积为0，只有\delta(t)的贡献，所以可以通过。这也是为什么h(t)第二、四图中的t=0的位置为负的原因，\delta(t)画不出来，只能画出其他部分。
  • 带阻滤波器具有低通和高通的性质，所以有常数项，也有最高项；而带通滤波器没有低通和高通的性质，故没有常数项和最高项，但有平方项，故在某\omega处存在极值，即为通过的频率带。

（6）相位响应\psi(j\omega)的分析将在下一个篇幅单独讨论，敬请期待。

2.Digital Filters

a.Low Pass

w_p=0.4\pi ; w_s=0.6\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;
H(z)=\frac {0.2292+0.4584z^{-1}+0.2292z^{-2}}{1-0.2675z^{-1}+0.1843z^{-2}}

b.High Pass

w_p=0.6\pi ; w_s=0.4\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;
H(z)=\frac {0.2292-0.4584z^{-1}+0.2292z^{-2}}{1+0.2675z^{-1}+0.1843z^{-2}}

c.Band Pass

w_{p_1}=0.4\pi ;w_{p_2}=0.6\pi ; w_{s_1}=0.3\pi;w_{s_2}=0.7\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;
H(z)=\frac {0.0995-0.1989z^{-2}+0.0995z^{-4}}{1+0.9316z^{-2}+0.3294z^{-4}}

d.Band Stop

w_{p_1}=0.3\pi ;w_{p_2}=0.7\pi ; w_{s_1}=0.4\pi;w_{s_2}=0.6\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;
H(z)=\frac {0.4733+0.9467z^{-2}+0.4733z^{-4}}{1+0.6469z^{-2}+0.2465z^{-4}}

Discussion

（1）比较四个数字滤波器的频率响应|H(j\Omega)|，\Omega\subseteq[-2\pi,2\pi]，横坐标坐标归一化\pi。

4types_Hz.jpg
（2）比较四个数字滤波器的相位响应
4types_faiz.jpg

（3）比较四个数字滤波器的单位脉冲响应h[k]

4types_hk.jpg
（4）比较四个滤波器的零极点分布图
4types_zplane.jpg
（5）定性分析零极点与频率响应的关系。
由零极点可以得到 的形式。考虑，不同的实际对应零极点图中单位圆上的不同位置：
4types_zplane2.jpg

而|H(j\Omega)|的大小实际上等价于\frac{绿色线段的长度乘积}{红色线段的长度乘积}两个零点表示乘两次。因此容易看出：

  • \Omega为低频0附近，图1图4的结果较大，表示低通和带阻滤波器可以低频通过。而图2图3的结果为零，表示高通和带通滤波器不能低频通过。
  • \Omega为高频\pi附近，图1图3的结果为0，表示低通和带通滤波器不能高频通过。而图2图4的结果较大，表示高通和带阻滤波器可以高频通过。
  • 我们可以很容易从零点分布看出哪些频率的波不能通过。极点与x轴的位置会影响A_p,A_s的衰减情况。

相位响应\psi(j\Omega)的分析将在下一个篇幅单独讨论，敬请期待。感谢中国MOOC学院北京交通大学陈后金老师《数字信号处理》的课程。

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