Differences between four kinds o

作者: icfg66 | 来源:发表于2019-04-26 12:16 被阅读0次

摘要：本文研究了低通、高通、带通、带阻模拟滤波器和数字滤波器的频率响应特性，单位脉冲响应以及零极点分布图，并定性解释了零极点分布图与频率响应特性的关系。

1.Analog Filters

a.Low Pass

$w_p=0.4\pi ; w_s=0.6\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$H(s)=\frac {2.232}{s^3+2.614s^2+3.416s+2.232}$

b.High Pass

$w_p=0.6\pi ; w_s=0.4\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$H(s)=\frac {s^3}{s^3+3.625s^2+6.569s+5.953}$

c.Band Pass

$w_{p_1}=0.4\pi ;w_{p_2}=0.6\pi; w_{s_1}=0.3\pi;w_{s_2}=0.7\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$H(s)=\frac {0.4196s^2}{s^4+0.9161s^3+5.157s^2+2.17s+5.611}$

d.Band Stop

$w_{p_1}=0.3\pi ;w_{p_2}=0.7\pi; w_{s_1}=0.4\pi;w_{s_2}=0.6\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$H(s)=\frac {s^4+4.737s^2+5.611}{s^4+1.539s^3+5.922s^2+3.646s+5.611}$

Discussion

（1）比较四个模拟滤波器的频率响应 $|H(j\omega)|$ ， $\omega\subseteq[-2\pi,2\pi]$ ，横坐标坐标归一化 $\pi$ 。

4types_Hw.jpg
（2）比较四个模拟滤波器的相位响应

4types_fai.jpg
（3）比较四个模拟滤波器的单位脉冲响应

4types_ht.jpg
（4）比较四个模拟滤波器的零极点分布图

4types_pzmap.jpg
（5）定性分析零极点与频率响应的关系。
考虑：

当低通时， $\omega$ 很小，所以分子不能有 $s$ 项，且必须有常数项，所以低通滤波器没有零点。
当高通时， $\omega$ 很大，所以分母要和分子同阶，故零极点的数目相同才能保证高频时 $|H(j\omega)|$ 接近1。
分子分母同阶还有一个有趣的现象是，化简 $H(s)$ 时，会出现常数1，对应在 $h(t)$ 是 $\delta(t)$ ，表明在高频时， $h(t)$ 的其他分量都与信号卷积为0，只有 $\delta(t)$ 的贡献，所以可以通过。这也是为什么 $h(t)$ 第二、四图中的 $t=0$ 的位置为负的原因， $\delta(t)$ 画不出来，只能画出其他部分。
带阻滤波器具有低通和高通的性质，所以有常数项，也有最高项；而带通滤波器没有低通和高通的性质，故没有常数项和最高项，但有平方项，故在某 $\omega$ 处存在极值，即为通过的频率带。

（6）相位响应 $\psi(j\omega)$ 的分析将在下一个篇幅单独讨论，敬请期待。

2.Digital Filters

a.Low Pass

$w_p=0.4\pi ; w_s=0.6\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$H(z)=\frac {0.2292+0.4584z^{-1}+0.2292z^{-2}}{1-0.2675z^{-1}+0.1843z^{-2}}$

b.High Pass

$w_p=0.6\pi ; w_s=0.4\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$H(z)=\frac {0.2292-0.4584z^{-1}+0.2292z^{-2}}{1+0.2675z^{-1}+0.1843z^{-2}}$

c.Band Pass

$w_{p_1}=0.4\pi ;w_{p_2}=0.6\pi ; w_{s_1}=0.3\pi;w_{s_2}=0.7\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$H(z)=\frac {0.0995-0.1989z^{-2}+0.0995z^{-4}}{1+0.9316z^{-2}+0.3294z^{-4}}$

d.Band Stop

$w_{p_1}=0.3\pi ;w_{p_2}=0.7\pi ; w_{s_1}=0.4\pi;w_{s_2}=0.6\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$H(z)=\frac {0.4733+0.9467z^{-2}+0.4733z^{-4}}{1+0.6469z^{-2}+0.2465z^{-4}}$