float小记

c中不管32位还是64位机，float所占字节均为4字节，即32位，根据IEEE R32.24标准，float在内存中的存储格式为1位符号位，8位指数位，23位尾数位。

其中指数位算数取值范围为[0 ~ 255]，但根据IEEE754标准，全0和全1分表代表浮点数0和浮点数无穷，被舍去，即0和255被舍去，所以范围变成[1 ~ 254]，由于这是一整个数的一部分，不区分符号位，所以为了表示正负数，设立了偏移量，根据有符号8位取值范围[-127 ~ -0，0 ~ 127]去掉全0和全1变成[-126 ~ 127]得到偏移量为127，这样1即为-126，126即为-1。

由于浮点数在内存中是按科学计算法存储的，即 6.125 => 0b110.001 => 0b1.10001 * 2² ，由于任何浮点数都可以按1.x···x * 2ⁿ 表示，所以这里的个位数1就可以隐藏，所以23位尾数位就可以全部表示科学计数里的小数位，那么float可表示的最大绝对值数为 0b1.11111111111111111111111 * 2¹²⁷，即为 (0b10 - 0b0.00000000000000000000001) * 2¹²⁷ ，即 (2 - 2^-23) * 2¹²⁷ ，而 2 - 2^-23 约等于2，即为 2¹²⁸ ，所以初步计算，float范围为[-2¹²⁸ ~ 2¹²⁸]。
又由于指数位最小为-126，尾数位最小为全0，则float可表示的最小绝对值数为 0b1 * 2^-126 ，即为 2^-126 ，所以float取值范围为 [-2¹²⁸ ~ -2^-126，2^-126 ~ 2¹²⁸] 。

对于float精度，由于隐藏位始终为1，不作考虑，那么23位二进制数最多能表示8388607个数字，想再多表示一些数字，就会越位，一旦数字超出23位，存储时就意味着丢失精确值，使用的是近似值，这也就是为什么float数值到一定程度时是跳跃的，例如十进制1.2 转二进制为 0b1.00110011001100110011001（0011无限循环），这时候再转成十进制就变成了1.19999992847442627这个值，从这个例子也可以看出，位数越多，才能越无限趋近于1.2，23位所表示的趋近于1.2的精度也就7位，所以结合8388607这个数字以及更多的例子就可以得出float所能表示的十进制数最大精度为7位的结论。

关于指数位全0和全1，分别称为“非规格化值”和“特殊值”，其他为“规格化值”。
非规格化值：一方面用于表示0，另一方面表示接近于0的数。因为规格化值默认隐藏个位数1，所以表示是 [1~2) 范围内的数，所以指数位全0时无隐藏个位数1，或认为个位数是0。且指数位和尾数位全0时，根据符号位不同，区分-0.0和+0.0。
特殊值：当尾数位全0，根据符号位不同分别表示正无穷和负无穷；当尾数位不是全0，表示NaN。