九、逻辑回归
许多问题需要将概率估算值作为输出。然后通过下两种方式之一使用返回的概率：
（1）按原样使用概率
假设我们创建一个逻辑回归模型来预测狗在半夜发出叫声的概率，即输出为概率p(bark | night)。
若模型预测 p(bark | night) 的值为 0.05，那么一年内，狗的主人应该被惊醒约 18 次。
（2）转换成二元类别
将逻辑回归输出映射到二元分类问题的解决方案，二元分类问题的目标是正确预测两个可能的标签（例如，“垃圾邮件”或“非垃圾邮件”）中的一个。
计算概率
逻辑回归模型如何确保输出值始终落在 0 和 1 之间？
巧合的是，S 型函数生成的输出值正好具有这些特性，其定义为：
图9.1 S型函数曲线
如果 图中z 表示使用逻辑回归训练的模型的线性层的输出，则该S型函数会生成一个介于 0 和 1 之间的y值（概率）。
根据该S型函数的反函数：
z 可定义为标签“1”（例如“狗叫”）的概率除以标签“0”（例如“狗不叫”）的概率得出的值的对数，因此z 也称为对数几率。
逻辑回归的损失函数
逻辑回归的损失函数是对数损失函数，定义为
-y是有标签样本中的标签。由于这是逻辑回归，因此y的每个值必须是 0 或 1。
-y'是对于特征集x的预测值（介于 0 和 1 之间）。
实际上，最大限度地降低损失函数的值会生成最大的似然估计值。
逻辑回归中的正则化
如果没有正则化，逻辑回归的渐近性会不断促使损失在高维度空间内达到 0。大多数逻辑回归模型会使用以下两个策略之一来降低模型复杂性：
-L2正则化。
-早停法，即限制训练步数或学习速率。
十、分类
（1）指定阈值
逻辑回归返回的是概率。可以“原样”使用返回的概率（例如，用户点击此广告的概率为 0.00023），也可以将返回的概率转换成二元值（例如，这封电子邮件是垃圾邮件）。
为了将逻辑回归值映射到二元类别，您必须指定分类阈值（也称为判定阈值）。如果值高于该阈值，则表示“垃圾邮件”；如果值低于该阈值，则表示“非垃圾邮件”。人们往往会认为分类阈值应始终为 0.5，但阈值取决于具体问题，因此您必须对其进行调整。
注意：“调整”逻辑回归的阈值不同于调整学习速率等超参数。在选择阈值时，需要评估您将因犯错而承担多大的后果。例如，将非垃圾邮件误标记为垃圾邮件会非常糟糕。不过，虽然将垃圾邮件误标记为非垃圾邮件会令人不快，但应该不会让您丢掉工作。
（2）准确率
准确率是指我们的模型预测正确的结果所占的比例。
对于二元分类，可以根据正类别和负类别按如下方式计算准确率：
其中，TP = 真正例，TN = 真负例，FP = 假正例，FN = 假负例。（T：判断正确，P：判断为正例）
但是，当使用分类不平衡的数据集（比如正类别标签和负类别标签的数量之间存在明显差异）时，单单准确率一项并不能反映全面情况。
（3）精确率和召回率
精确率定义如下：，即在被识别为正类别的样本中，确实为正类别的比例是多少？
如果模型的预测结果中没有假正例，则模型的精确率为 1.0。
召回率定义如下：，即在所有正类别样本中，被正确识别为正类别的比例是多少？
如果模型的预测结果中没有假负例，则模型的召回率为 1.0。
精确率和召回率往往是此消彼长的情况。也就是说，提高精确率通常会降低召回率值，反之亦然。
（4）ROC 曲线
ROC 曲线（接收者操作特征曲线）是一种显示分类模型在所有分类阈值下的效果的图表。该曲线绘制了以下两个参数：真正例率、假正例率。
真正例率
假正例率
ROC 曲线用于绘制采用不同分类阈值时的 TPR 与 FPR。降低分类阈值会导致将更多样本归为正类别，从而增加假正例和真正例的个数。
为了计算 ROC 曲线上的点，我们可以使用不同的分类阈值多次评估逻辑回归模型，但这样做效率非常低。有一种基于排序的高效算法可以为我们提供此类信息，这种算法称为曲线下面积。
曲线下面积AUC表示“ROC 曲线下面积”。
根据每个测试样本属于正样本的概率值从小到大排序，依次将样本的概率值作为阈值。每次选取一个不同的阈值，就可以得到一组FPR和TPR，即ROC曲线上的一点。
曲线下面积因以下两个原因而比较实用：
-曲线下面积的尺度不变。它测量预测的排名情况，而不是测量其绝对值。
-曲线下面积的分类阈值不变。它测量模型预测的质量，而不考虑所选的分类阈值。
不过，这两个原因都有各自的局限性，这可能会导致曲线下面积在某些用例中不太实用：
-并非总是希望尺度不变。例如，有时我们非常需要被良好校准的概率输出，而曲线下面积无法告诉我们这一结果。
-并非总是希望分类阈值不变。在假负例与假正例的代价存在较大差异的情况下，尽量减少一种类型的分类错误可能至关重要。例如，在进行垃圾邮件检测时，您可能希望优先考虑尽量减少假正例（即使这会导致假负例大幅增加）。对于此类优化，曲线下面积并非一个实用的指标。
（5）预测偏差
逻辑回归预测应当无偏差。即“预测平均值”应当约等于“观察平均值”。
预测偏差指的是这两个平均值之间的差值。
如果出现非常高的非零预测偏差，则说明模型某处存在错误，因为这表明模型对正类别标签的出现频率预测有误。
造成预测偏差的可能原因包括：
-特征集不完整
-数据集混乱
-模型实现流水线中有错误
-训练样本有偏差
-正则化过强
通过对学习模型进行后期处理来纠正预测偏差，即通过添加校准层来调整模型的输出，从而减小预测偏差。但是，添加校准层并非良策。
分桶偏差和预测偏差
在检查预测偏差时，无法仅根据一个样本准确地确定预测偏差；必须在“一大桶”样本中检查预测偏差。也就是说，只有将足够的样本组合在一起以便能够比较预测值（例如 0.392）与观察值（例如 0.394），逻辑回归的预测偏差才有意义。
可以通过以下方式构建桶：以线性方式分解目标预测、构建分位数。
下图表示某个特定模型的校准曲线。每个点表示包含 1000 个值的分桶。
图10.1 校准散点图
x 轴表示模型针对该桶预测的平均值。
y 轴表示该桶的数据集中的实际平均值。
两个轴均采用对数尺度。
为什么只有模型的某些部分所做的预测如此糟糕？以下是几种可能性：
-训练集不能充分表示数据空间的某些子集。
-数据集的某些子集比其他子集更混乱。
-该模型过于正则化。（不妨减小lamda的值。）
十一、稀疏性正则化
稀疏矢量通常包含许多维度。创建特征组合会导致包含更多维度。由于使用此类高维度特征矢量，因此模型可能会非常庞大，并且需要大量的 RAM。
在高维度稀疏矢量中，最好尽可能使权重正好降至 0。正好为 0 的权重基本上会使相应特征从模型中移除。将特征设为 0 可节省 RAM 空间，且可以减少模型中的噪点。
以一个涵盖全球地区（不仅仅只是涵盖加利福尼亚州）的住房数据集为例。如果按分（每度为 60 分）对全球纬度进行分桶，则在一次稀疏编码过程中会产生大约 1 万个维度；如果按分对全球经度进行分桶，则在一次稀疏编码过程中会产生大约 2 万个维度。这两种特征的特征组合会产生大约 2 亿个维度。这 2 亿个维度中的很多维度代表非常有限的居住区域（例如海洋里），很难使用这些数据进行有效泛化。
若为这些不需要的维度支付 RAM 存储费用就太不明智了。
因此，最好是使无意义维度的权重正好降至 0，这样我们就可以避免在推理时支付这些模型系数的存储费用。
L2 正则化可以使权重变小，但是并不能使它们正好为 0.0。
L0正则化可以减少模型中的非零系数值的计数。只有在模型能够与数据拟合时增加此计数才有意义。但它会将我们的凸优化问题变为非凸优化问题，即 NP困难。
L1 正则化这种正则化项的作用类似 L0，但它具有凸优化的优势，可有效进行计算。因此，可以使用 L1 正则化使模型中很多信息缺乏的系数正好为 0，从而在推理时节省 RAM。
L1和 L2正则化
L2和 L1采用不同的方式降低权重：
-L2会降低”权重的平方“。
-L1会降低 “权重的绝对值”。
因此，L2和 L1具有不同的导数：
L2的导数为 “2 * 权重”。
L1的导数为“ k”（一个常数，其值与权重无关）。
图11.1 L1和L2正则化对权重网络的影响
从 L2正则化转换到 L1正则化之后，测试损失与训练损失之间的差值明显减少。
从 L2正则化转换到 L1正则化之后，所有已知权重都有所减少。
增加 L1正则化率一般会减小已知权重；不过，如果正则化率过高，该模型便不能收敛，损失也会很高。
注意，L1 正则化可能会使以下类型的特征的权重正好为 0：
-信息缺乏的特征。
-不同程度的信息丰富的特征。
-与其他类似的信息丰富特征密切相关的信息丰富特征。
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