2020-06-15

今天我们学习了一道很有意思的数学题:这道题的目的是找规律并求出结果:

1/2+1/4=1-1/4=3/4

1/2+1/4+1/8=1-1/8=7/8

1/2+1/4+1/8+1/16=1-1/16=15/16

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32=

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64=

我们先从每一个算式的结果来看一看是否能找到规律。第一个算式的结果是3/4，第二个是7/8，第三个是15/16，我们会发现前面算式的结果分母乘以二等于后面算式结果的分母。前面分数的分子乘以二加一等于后面分数的分子。以此类推，第一个空应该填(16×2)/(15×2+1)=31/32。第二个空应该填(32×2)/(31×2+1)=63/64。这种规律可以这样理解，(用第一二个算式作为代表)第一个算式比第二个算式少了一个1/8，第一个算式乘以二等于6/8，6/8+1/8等于7/8。4×2是在通分，3×2运用的是分数基本性质。3x2+1加数的分子加另一个加数的分子。3×2是3/4的分子，一是1/8的分子。(下面的算式皆可用这种思路类推)

当然出这种题的目的肯定不是为了在结果上找规律，而是一个算式一个算式的找规律。前三个算式我们可以看出，每一个算式的答案都是1减最后一个加数，(每个加数的特征是前面的加数是后面加数的两倍。)那么1/2+1/4+1/8+1/16+1/32答案是1-1/32=31/32。而1/2+1/4+1/8+1/16加1/32+1/64答案是1-1/64=63/64。这却是为什么呢？我们可以用两种方式来解释。第一种，画图法。假设有一个正方形，先加1/2有就是把这正方形分成一半，其中一半涂上阴影。再加1/4，也就是把没有涂阴影的一半分成两半，把这两段中的一半涂上阴影。剩下的一半半是1/4，算是可以列为1/2+1/4，也可以列为1-1/4。(其他的算式皆可用这种思路类推)第二种:前面的加数是后面加数的两倍，(用最后一个算式作为例子)如:1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64，我们先将整个算式再加1/64，1/64+1/64等于1/32，1/32+1/32等于1/16，1/16+1/16等于1/8，1/8+1/8等于1/4，1/4+1/4等于1/2，1/2+1/2等于一，一再减去我们一开始多加的1/64等于63/64。(其他算式皆可用这种思路类推)

这道题最基础的改法就是把加数之间的倍数从二倍变成三倍。如1/2+1/6+1/18+1/54。因为每个加数与它后面的数都是三倍关系，我们需要先多加两个1/54。1/54的三倍，也就是1/18。两个1/18不等于1/6，还需要再加一个1/18，1/18+1/18，加1/18等于1/6。而两个1/6并不等于1/2，也需要再加一个1/6，1/6的三倍是1/2。1/2+1/2等于一。前后共加了两个1/54，一个1/18，一个1/6。1/18等于3/54，1/6等于9/54，9/54+3/54+1/54+1/54=14/54，1-13/54=40/54。假如是1/2+1/6+1/18呢？相当于一共加了两个1/18和一个1/6。1/6等于3/18，3/18+1/18x2等于5/18，1-5/18等于13/18。这种前面加数是后面加数的三倍的找规律问题我找到的规律是:1减最后一个加数的两倍，再减从倒数第二个加数到正数第二个加数的和即可。

我们今天学习的数学问题，还有一种变法:1-1/2-1/4-1/8-1/16-1/32。我们可以先算出所有减数的和是多少。所有减数的和是1-1/32。一减一减1/32的差，等于一减一加1/32，等于1/32。规律为:最后一个减数为算式答案。我们也可以把它变为1-1/2+1/4-1/8+1/16-1/32。1-1/2等于1/2，1/4-1/8等于1/8，1/16-1/32等于1/32。1/32+1/8+1/2=21/32。规律为: 将减数相加即可。

这就是我们今天所学习的找规律问题，解法很多可以变成的别类型题也很多，不得不说这种类型题很好玩。