【教学110】18与45公有的质因数是3，还是3、3？

      有一种观点认为，求两个整数最大公因数的方法是把这两个数公有的质因数全部乘起来。比如，18=3x3x2，45=3x3x5，18和45的最大公因数是3x3，因此18和45公有的质因数是2个3。如果认为是18与45公有的质因数是3，那么与求最大公因数的方法矛盾。

      另一种观点认为，教材上问某个整数的因数时，比如“36的因数有(            )”，不考虑重复因数。此时，实际上是把“36的因数”作为一个集合。同理，“18的质因数”，“45的质因数”，“18和45公有的质因数”也都构成了集合里面的元素，不能重复出现。所以，18与45公有的质因数应该是3。

    前一种观点满足求最大公因数的方法，但与集合表示法不符合。后者符合集合表示法，但又与求最大公因数的方法不符合，怎么办？

      关于这个问题，我们请教了部分教材编写人员和资深教研员后提出如下建议:

      1. 每一个非零整数都可以分解成质因数的唯一表示形式，但不能分解成因数的唯一表示形式。因此，一般情况下，写某个数的质因数时，重复的质因数要写出来，如18的质因数有2、3、3(或者说18的质因数有1个2，2个3)；写某个数的因数时，重复的因数不写，如18的因数有1、2、3、6、9 、18。

      2. 如果明确是关于“质因数”的集合表示就不重复，其他情况按第一点建议。

    3.  脱离具体的情境，讨论“18与45公有的质因数是3，还是3、3”，有点儿“为了概念而讨论概念”的味道，这种讨论只会让学生更迷茫，而对掌握相关概念没有丝毫的好处，不值得提倡。