章节概览

我们今天要做一些非常危险的事情，那就是从高中跨越到大学。做好准备吧，同学们。同样，我仍然要告诉你们该教程并不是什么优秀的数学读物，如果你希望从这里学到非常多的数学知识，那么趁早放弃吧。它只能告诉你，所有的配料的名字，而非直接给予你这个配料。

1.噩梦的开端：极限

1857年5月23日柯西在巴黎病逝。他临终的一句名言，长久地叩击着一代又一代学子的心扉。

人总是要死的，但是，他们的业绩永存。

为什么要说极限呢？因为极限是微积分最基础的内容，是很多概念的基础。极限是针对一个函数而存在的，它描述了当该函数的参数趋向于某个值的时候，该函数的值趋向的值。

1.1.什么是趋向于

趋向于就是无限逼近但是不等于，这是一个很让人头疼的事情。就像一个闷骚又极其内向的人A喜欢一个姑娘老久了就是不表白一样，永远都只是朋友而不是恋人。但是其实我们是可以理解的，因为有的时候，我们追求的那个值，是不可能达到的。就像A心里也清楚，人家姑娘看不上他这种人。但是现实中的比喻和数学还是有不同的，毕竟那个姑娘哪天说不定莫名其妙眼睛就瞎了。但是悲伤的故事是，一个x，永远取不到一个叫做

的值。或者真正恐怖的事实是，无穷正是因为取不到，才叫无穷。

1.2.极限的格式

极限的写法比较简单，它由英文单词 limit 而来。极限格式就是先写一个lim出来，在lim上的下面写出该极限的参数趋向于的值，然后函数表达式放右边就行了。

这个极限读作，x趋向于无穷大时，1/x的极限值。毫无疑问的，该极限值为0，虽然1/x永远不可能等于0，但是它的极限却可以在x趋于无穷大时为0。

1.3.换一种对极限的叫法

可能极限这个名词太专业了，其实并不需要这么个东西。我们在这个章节暂时不说极限这个名词，而用一种非常粗浅的叫法，即非常非常靠近的值。比如，刚才的算式可以这么叫，当x趋向于无穷大时，1/x非常非常靠近的值。
当x趋向于无穷大时，1/x的非常非常靠近的值是0，因而

1.3.1关于求极限

求非常非常靠近的值的手段很多，但是大部分没啥用，因为我们平时在数学题里面用到的函数，全部拎出来，放到现实生活中，或者自然界的函数中去，简直就是一颗原子释放到了宇宙中。因而我的老师跟我说，有的非常非常靠近的值呀，只有上帝求得出来。不过我们还是得知道一件很普通的事，那就是，在我们求非常非常靠近的值的过程中，如果参数x趋向于的值并不是0或者无穷大，而是一个实实在在的值，那么直接代入这个值就可以了。比如

它的含义就是，当x无限趋近于3的时候，x+1的非常非常靠近的值是4

1.4.从极限到导数

1.4.1.斜率的现实含义

突然扯到斜率有点唐突，不过倒是一个很不错的入口点。斜率最初描述对象其实是坡度，图中所示的直角三角形，就可以看作是一个坡。

坡度

怎么计算斜率呢？这是一件很简单的事情，我们可以通过多种方式，最简易的方式就是通过计算高度与长度的比值。

这样，我们就计算出了这个斜面的坡度或者斜率，为0.5，更多的时候，我们没有这个所谓的“坡”，只有这个斜面，或者称为斜线。

y=0.5x图像
假设我们把这个图像当做是一个挖煤的过程，x轴的单位是月，y轴的单位是吨。那么这个斜率0.5表示的含义就发生了变化，它表示已经挖出来的煤的增长的速度。这就是我们这个小标题的答案，斜率的现实含义或者它在这个专题中一个非常重要的意义就是增长率

1.4.2.从开车问题拓展增长率的概念

一旦扯到开车，就绝对避免不了去谈一个问题，即加速问题。比如从0m/s加速到5m/s要用多少时间啦。在研究这个问题的时候，我们先做两个基本假设，第一个假设就是我们从0m/s加速到5m/s用了10秒，第二个假设就是这辆车加速的增长率恒定。那么上面这个图像就完全可以用来描述小汽车加速的这个问题，换个单位就成了。可是实际情况是，花了10秒从0m/s加速到5m/s可以接受，也许是辆遥控玩具车呢，但是小汽车的速度增长率不太可能是恒定的。它可能是下面这张图所描述的。

小汽车加速问题
此时，小汽车在每个时刻的速度都不符合之前的函数所描述的。幸好这辆车提供了一个记录每秒速度的仪器，这个仪器记录了所有时刻的瞬时速度并且记录到了一个表格里，现在我们可以把它作为一个函数来看待。即小汽车在t时刻的速度为f(t)

只要有了这个函数，我们可以计算某个时间段内，这辆车的速度的平均增长率。
比如，我们选取时刻3s，和时刻5s
某个时间段内的速度的平均增长率
我们现在知道，3s时，汽车的速度为f(3)，而5s时，汽车的速度为f(5)，那么就可以轻松的计算出在3s到5s这段时间内，汽车速度的平均增长率为

为什么要计算3秒到5秒呢？啊？我也不知道啊。所以

有了这个公式，我们就可以计算任意两个时刻内的平均速度增长率了，（说了这么半天的速度增长率，其实在物理中被称为加速度，这里说成增长率是为了方便大家理解。）也许到了这里，很多人都满足了。但是就是有那么一个人，他觉得，如果两个时间刻度x1和x2十分的接近，我们不就可以得到一个点的近似的瞬时增长率了吗？
这确实是一个非常好的想法，但是怎么描述x1和x2非常接近呢？

一脸懵逼

当然是用非常非常靠近的值啦。如果x1无限趋近于x2，那么自然而然的我们就得到x2这个点附近的瞬时增长率了。所以我们先列出这个式子咯

前面我们说到，如果参数x趋向于一个实实在在的值，那么极限的值就直接代入它就可以了。因而这个式子可以直接写成

它表示在无限趋近于时，的非常非常靠近的值为。如果你已经对非常非常靠近值的含义有一定的掌握了，就可以不再用这种非常粗俗的叫法了，还是叫极限吧，高大尚。
不过由于我们并不真的知道到底是什么，因而我们无法求出的具体表达式，不过我们倒是可以尝试尝试不同的函数。于是再做一个假设吧，假设，于是这个极限就成了

如果你看到了这里，并且理解了所有的内容。那么恭喜你，你掌握了一个很重要的概念，即导数。导数描述的是一个函数在某一个点的增长率，它的计算方式就是上面的推导过程。而函数的导函数就是

小结

今天你有没有成功度过大峡谷呢？如果你看不懂，别灰心，看一些其他的更加基础的内容来补充你所需要的知识吧。我也是一步一步走过来的。我们今天主要的目的是为了讲导数，只不过导数比较依赖极限，然而极限又不是一个非常简单的东西。我甚至没有搬出极限的原始定义，因为我觉得它太反人类了。有了导数的基础，我们就可以开始下面的内容了。