目录
前言
1.数组和链表的特点
2.树和二叉树
3.二叉搜索树以及它是通过什么方式改善的数组、链表的问题
4.二叉树的实现
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4.1 新增数据
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4.3 查找方法
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4.3 删除方法
5.遍历
6.二叉树的效率
7.二叉树的缺点
前言
本篇博客为将为大家介绍一下数据结构---二叉树,它在保留数组和链表的优点的同时也改善了它们的缺点(当然它也有着自己的缺点,同时它的实现也比较复杂).
1. 数组和链表的特点
数组的优点:
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简单易用.
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无序数组的插入速度很快,效率为O(1)
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有序数组的查找速度较快(较无序数组),效率为O(logN)
数组的缺点:
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数组的查找、删除很慢
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数组一旦确定长度,无法改变
链表的优点:
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可以无限扩容(只要内存够大)
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在链表头的新增、删除很快,效率为O(1)
链表的缺点:
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查找很慢
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在非链表头的位置新增、删除很慢,效率为O(N)
2.树和二叉树
树是一种数据结构,因为它数据的保存形式很像一个树,所以得名为树(树状图).
而二叉树是一种特殊的树,它的每个节点最多含有两个子树,现实世界中的二叉树:
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图1
但是实际中的二叉树却是倒挂的,如图:
image.gif
图2
二叉树的名词解释:
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根：树顶端的节点称为根。一棵树只有一个根，如果要把一个节点和边的集合称为树，那么从根到其他任何一个节点都必须有且只有一条路径。A是根节点。
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父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；B是D的父节点。
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子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；D是B的子节点。
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兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；比如上图的D和E就互称为兄弟节点。
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叶节点：没有子节点的节点称为叶节点，也叫叶子节点，比如上图的E、H、L、J、G都是叶子节点。
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子树：每个节点都可以作为子树的根，它和它所有的子节点、子节点的子节点等都包含在子树中。
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节点的层次：从根开始定义，根为第一层，根的子节点为第二层，以此类推。
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深度：对于任意节点n,n的深度为从根到n的唯一路径长，根的深度为0；
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高度：对于任意节点n,n的高度为从n到一片树叶的最长路径长，所有树叶的高度为0；
深度与高度的区别在于：深度为根到节点的距离，而高度是节点到叶的距离(记住根深叶高)。
3.二叉搜索树以及它是通过什么方式改善的数组、链表的问题
二叉搜索树是一种特殊的二叉树,除了它的子节点不能超过两个以外,它还拥有如下特点:
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一个节点的左子节点的关键字的值永远小于该节点的值
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一个节点的右子节点的关键字的值永远大于等于该节点的值
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图3 - 二叉搜索树关键字的排序方式
从图3还可以看出,二叉搜索树的最小值就是它的最左节点的关键字的值,而最大值则是它的最右节点的值.
二叉搜索树的查找、新增、删除的效率为O(logN)(这是理想状态下,如果树是不平衡的效率会降到O(N),后面会介绍).
二叉搜索树之所以效率高就在于:
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它的数据是按照上述的有序的方式排列的.
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进行新增、查找、删除的时候使用了二分查找法.
4. 二叉树的实现
二叉树中数据是保存在一个个的节点中的,下面是保存数据的节点类:
/** * @author liuboren * @Title: 节点类 * @Description: */public class Node { // 用来进行排序的关键字数组 int sortData ; // 其他类型的数据 int other; // 该节点的左子节点 Node leftNode; // 该节点的右子节点 Node rightNode; public static void main(String[] args) { Node node = new Node(); System.out.println("node.leftNode = " + node.leftNode); System.out.println(node.leftNode); }}
在二叉搜索树这个类中新增、修改、删除数据:
public class Tree { // 根节点 Node root; public Tree(Node root) { this.root = root; }// 新增、查找、删除 暂时省略,下面会一一介绍}
4.1 新增数据
在二叉树中插入数据的流程如下:
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图4
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图5
Java代码:
/*新增数据*/ public void insertData(Node node) { int currentSortData = root.sortData; Node currentNode = root; Node currentLeftNode = root.leftNode; Node currentRightNode = root.rightNode; int insertSortData = node.sortData; while (true) { if (insertSortData < currentSortData) { if (currentLeftNode == null) { currentNode.leftNode = node; break; } else { currentNode = currentNode.leftNode; currentLeftNode = currentNode.leftNode; currentRightNode = currentNode.rightNode; currentSortData = currentNode.sortData; } } else { if (currentRightNode == null) { currentNode.rightNode = node; break; } else { currentNode = currentNode.rightNode; currentSortData = currentNode.sortData; currentLeftNode = currentNode.leftNode; currentRightNode = currentNode.rightNode; } } } System.out.println("root = " + root); }
4.3 查找方法
流程与插入方法类似.（Java知音公众号内回复“面试题聚合“，送你一份面试题宝典）
Java代码:
public void query(int sortData) { Node currentNode = root; while (true) { if (sortData != currentNode.sortData) { if (sortData < currentNode.sortData) { if (currentNode.leftNode != null) { currentNode = currentNode.leftNode; } else { System.out.println("对不起没有查询到数据"); } } else { if (currentNode.rightNode != null) { currentNode = currentNode.rightNode; } else { System.out.println("对不起没有查询到数据"); } } } else { System.out.println("二叉树中有该数据"); } }}
4.3 删除方法
删除节点要分三种情况.
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删除节点无子节点的情况
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删除节点有一个子节点的情况
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删除节点有两个子节点的情况
删除节点无子节点的情况是最简单的,直接将该节点置为null就可以了:
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图6
删除节点有一个子节点的情况:
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图7
删除后:
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图8
最复杂的删除节点有两个子节点的情况,删除流程如下:
image.gif
图9
删除后:
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图10
为什么要以这种方式删除节点呢? 再次回顾一下二叉搜索树的特点:
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一个节点的左子节点的关键字的值永远小于该节点的值
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一个节点的右子节点的关键字的值永远大于等于该节点的值
之所以要找删除节点的右子节点的最后一个左节点,是因为这个值是删除节点的子节点中最小的值,为了满足上面的这两个特点,所以删除要以这种算法去实现.更多排序算法扩展：排序算法内容聚合
Java代码:
public boolean delete(int deleteData) { Node curr = root; Node parent = root; boolean isLeft = true; while (deleteData != curr.sortData) { if (deleteData <= curr.sortData) { isLeft = true; if (curr.leftNode != null) { parent = curr; curr = curr.leftNode; } } else { isLeft = false; if (curr.rightNode != null) { parent = curr; curr = curr.rightNode; } } if (curr == null) { return false; } } // 删除节点没有子节点的情况 if (curr.leftNode == null && curr.rightNode == null) { if (curr == root) { root = null; } else if (isLeft) { parent.leftNode = null; } else { parent.rightNode = null; } //删除节点只有左节点 } else if (curr.rightNode == null) { if (curr == root) { root = root.leftNode; } else if (isLeft) { parent.leftNode = curr.leftNode; } else { parent.rightNode = curr.leftNode; } //如果被删除节点只有右节点 } else if (curr.leftNode == null) { if (curr == root) { root = root.rightNode; } else if (isLeft) { parent.leftNode = curr.rightNode; } else { parent.rightNode = curr.rightNode; } } else { Node successor = getSuccessor(curr); if (curr == root) { root = successor; } else if (curr == parent.leftNode) { parent.leftNode = successor; } else { parent.rightNode = successor; } successor.leftNode = curr.leftNode; } return true; } public Node getSuccessor(Node delNode) { Node curr = delNode.rightNode; Node successor = curr; Node sucParent = null; while (curr != null) { sucParent = successor; successor = curr; curr = curr.leftNode; } if (successor != delNode.rightNode) { sucParent.leftNode = successor.rightNode; successor.rightNode = delNode.rightNode; } return successor; }
5. 遍历
遍历二叉树中的数据,有三种遍历方式:
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前序
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中序(最常用)
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后续
前序、中序和后序三种遍历方式的步骤是相同的,只是顺序不同.
前序遍历顺序:
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先输出当前节点
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再遍历左子节点
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再遍历右子节点
中序遍历顺序:
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先遍历左子节点
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再输出当前节点
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再遍历右子节点
后序遍历顺序:
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先遍历左子节点
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再遍历又子节点
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再输出当前节点
什么当前节点?什么左右子节点?太抽象!!!!没关系继续看图.
前序遍历输出顺序图:
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图11
中序遍历输出顺序图:
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图12
后序遍历输出顺序图:
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图13
可以看出所谓的前中后序是输出当前节点的顺序,前序是在第一个输出当前节点,中序是第二个输出当前节点,后序是第三个当前节点.
又因为中序遍历是按照关键值由小到大的顺序输出的,所以中序遍历最为常用.
前、后序遍历在解析或分析二叉树(不是二叉搜索树)的算术表达式的时候比较有用,用的不太多,看下图:
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6. 二叉树的效率
我们用二叉树与数组和链表进行对比,在有100w个数据项的无序数组或链表中,查找数据项平均会比较50w次,但在有100w个节点的树中,只需要20(或更少)次的比较.
有序数组可以很快的找到数据项,但插入数据项平均需要移动50w个数据项,在100w个节点的树中插入数据项需要比较20或更少次的比较,再加上很短的时间来连接数据项.
同样,从有100w个数据项的数组中删除一个数据项需要平均移动50w个数据项,而在100w个节点的树中删除节点只需要20次或更少的比较来找到它,再加上(可能的话)一点比较的时间来找到它的后继,一点时间来断开这个节点的链接,以及连接它的后继.
结论: 树对所有常用的数据存储操作都有很高的效率
遍历不如其他操作快. 但是,遍历在大型数据库中不是常用的操作.它更长用于程序中的辅助方法来解析算术或其他的表达式,而且表达式一般都不会很长.
如果二叉树是平衡的,它的效率为: O(logN),如果二叉树是不平衡的(最极端的情况,存入树中的数据是升序或降序排列的,那么二叉树就是链表),效率为: O(N)
所以二叉搜索树在保存随机数值的时候,效率才是最高的
7. 二叉树的缺点
如果二叉树是极端不平衡的(此时的二叉树就是一个链表),它的效率为O(N),即使数值是随机的,如果数据的量够大,也有可能有一部分的数值是有序的(就像你抛硬币的时间足够长,会有一段时间出现一直抛正面或反面),造成二叉树会变成是局部不平衡的,这样它的效率会介于O(logN)到O(N).
END
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