卷积神经网络基础
本节我们介绍卷积神经网络的基础概念，主要是卷积层和池化层，并解释填充、步幅、输入通道和输出通道的含义。
二维卷积层
本节介绍的是最常见的二维卷积层，常用于处理图像数据。
二维互相关运算
二维互相关（cross-correlation）运算的输入是一个二维输入数组和一个二维核（kernel）数组，输出也是一个二维数组，其中核数组通常称为卷积核或过滤器（filter）。卷积核的尺寸通常小于输入数组，卷积核在输入数组上滑动，在每个位置上，卷积核与该位置处的输入子数组按元素相乘并求和，得到输出数组中相应位置的元素。图1展示了一个互相关运算的例子，阴影部分分别是输入的第一个计算区域、核数组以及对应的输出。
图1二维互相运算
下面我们用corr2d函数实现二维互相关运算，它接受输入数组X与核数组K，并输出数组Y。
import torch
import torch.nn as nn
def corr2d(X, K):
H, W = X.shape
h, w = K.shape
Y = torch.zeros(H - h + 1, W - w + 1)
for i in range(Y.shape[0]):
for j in range(Y.shape[1]):
Y[i, j] = (X[i: i + h, j: j + w] * K).sum()
return Y
构造上图中的输入数组X、核数组K来验证二维互相关运算的输出。
X = torch.tensor([[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])
K = torch.tensor([[0, 1], [2, 3]])
Y = corr2d(X, K)
print(Y)
######
tensor([[19., 25.],
[37., 43.]])
二维卷积层
二维卷积层将输入和卷积核做互相关运算，并加上一个标量偏置来得到输出。卷积层的模型参数包括卷积核和标量偏置。
class Conv2D(nn.Module):
def __init__(self, kernel_size):
super(Conv2D, self).__init__()
self.weight = nn.Parameter(torch.randn(kernel_size))
self.bias = nn.Parameter(torch.randn(1))
def forward(self, x):
return corr2d(x, self.weight) + self.bias
下面我们看一个例子，我们构造一张 6×8 的图像，中间4列为黑（0），其余为白（1），希望检测到颜色边缘。我们的标签是一个 6×7 的二维数组，第2列是1（从1到0的边缘），第6列是-1（从0到1的边缘）。
X = torch.ones(6, 8)
Y = torch.zeros(6, 7)
X[:, 2: 6] = 0
Y[:, 1] = 1
Y[:, 5] = -1
print(X)
print(Y)
结果如下
tensor([[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.]])
tensor([[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.]])
我们希望学习一个 1×2 卷积层，通过卷积层来检测颜色边缘。
conv2d = Conv2D(kernel_size=(1, 2))
step = 30
lr = 0.01
for i in range(step):
Y_hat = conv2d(X)
l = ((Y_hat - Y) ** 2).sum()
l.backward()
# 梯度下降
conv2d.weight.data -= lr * conv2d.weight.grad
conv2d.bias.data -= lr * conv2d.bias.grad
# 梯度清零
conv2d.weight.grad.zero_()
conv2d.bias.grad.zero_()
if (i + 1) % 5 == 0:
print('Step %d, loss %.3f' % (i + 1, l.item()))
print(conv2d.weight.data)
print(conv2d.bias.data)
结果如下
Step 5, loss 4.569
Step 10, loss 0.949
Step 15, loss 0.228
Step 20, loss 0.060
Step 25, loss 0.016
Step 30, loss 0.004
tensor([[ 1.0161, -1.0177]])
tensor([0.0009])
互相关运算与卷积运算
卷积层得名于卷积运算，但卷积层中用到的并非卷积运算而是互相关运算。我们将核数组上下翻转、左右翻转，再与输入数组做互相关运算，这一过程就是卷积运算。由于卷积层的核数组是可学习的，所以使用互相关运算与使用卷积运算并无本质区别。
特征图与感受野
二维卷积层输出的二维数组可以看作是输入在空间维度（宽和高）上某一级的表征，也叫特征图（feature map）。影响元素 x 的前向计算的所有可能输入区域（可能大于输入的实际尺寸）叫做 x 的感受野（receptive field）。
以图1为例，输入中阴影部分的四个元素是输出中阴影部分元素的感受野。我们将图中形状为 2×2 的输出记为 Y ，将 Y 与另一个形状为 2×2 的核数组做互相关运算，输出单个元素 z 。那么， z 在 Y 上的感受野包括 Y 的全部四个元素，在输入上的感受野包括其中全部9个元素。可见，我们可以通过更深的卷积神经网络使特征图中单个元素的感受野变得更加广阔，从而捕捉输入上更大尺寸的特征。
填充和步幅
我们介绍卷积层的两个超参数，即填充和步幅，它们可以对给定形状的输入和卷积核改变输出形状。
填充
填充（padding）是指在输入高和宽的两侧填充元素（通常是0元素），图2里我们在原输入高和宽的两侧分别添加了值为0的元素。
图2 在输入的高和宽两侧分别填充了0元素的二维互相关计算
如果原输入的高和宽是 nh 和 nw ，卷积核的高和宽是 kh 和 kw ，在高的两侧一共填充 ph 行，在宽的两侧一共填充 pw 列，则输出形状为：
(nh+ph−kh+1)×(nw+pw−kw+1)
我们在卷积神经网络中使用奇数高宽的核，比如 3×3 ， 5×5 的卷积核，对于高度（或宽度）为大小为 2k+1 的核，令步幅为1，在高（或宽）两侧选择大小为 k 的填充，便可保持输入与输出尺寸相同。
步幅
在互相关运算中，卷积核在输入数组上滑动，每次滑动的行数与列数即是步幅（stride）。此前我们使用的步幅都是1，图3展示了在高上步幅为3、在宽上步幅为2的二维互相关运算。
图3 高和宽上步幅分别为3和2的二维互相关运算
一般来说，当高上步幅为 sh ，宽上步幅为 sw 时，输出形状为：
⌊(nh+ph−kh+sh)/sh⌋×⌊(nw+pw−kw+sw)/sw⌋
如果 ph=kh−1 ， pw=kw−1 ，那么输出形状将简化为 ⌊(nh+sh−1)/sh⌋×⌊(nw+sw−1)/sw⌋ 。更进一步，如果输入的高和宽能分别被高和宽上的步幅整除，那么输出形状将是 (nh/sh)×(nw/sw) 。
当 ph=pw=p 时，我们称填充为 p ；当 sh=sw=s 时，我们称步幅为 s 。
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