最小二乘均数的计算原理

      “最小二乘均数”（Least Squares Means，LSM）或者有时被称为“调整后的均值”（Adjusted Means），它们常在统计学中用于多因素实验设计或协方差分析中。最小二乘均数考虑了其他变量的影响，并提供了一种在控制了这些变量之后的均值估计。在实践中，最小二乘均数是研究者用来比较不同治疗效果的一种常用方法，尤其是当实验设计包含复杂的协变量结构时。这些均数在所有实验组中被校正，以反映所有其他条件保持不变时的平均响应。

一、最小二乘均数的计算过程

      我们可以从一个相对简单的情况开始讨论：比如我们有一个实验，包括两组人群（比如男性和女性），而我们想要比较的是他们在某些测试下的表现分数。但是，我们知道年龄也影响测试分数，所以我们要把年龄这个变量的影响去掉，来得到两组在“平均年龄”下的比较结果。这里，年龄是一个协变量。直接计算“原始平均分”会忽略掉年龄的影响，所以我们需要考虑它。以下是如何进行这种校正：

1、建立一个线性模型：首先，我们为测试分数构建一个线性模型，其中包含性别和年龄作为解释变量。模型可能看起来类似于这样：

Score = β0 + β1 * Gender + β2 * Age + ε

这里，Gender可以是虚拟变量（男性为0，女性为1），β1表示性别的效应，β2表示年龄的效应，ε是误差项。

2、拟合这个模型：使用最小二乘法来估计模型的参数。这会给我们提供了各个变量的估计效应（系数）。这样我们就能得到每一年龄增加对分数的平均影响。

3、计算原始平均分：原始平均分很简单，它只是每组（比如男性和女性）中所有分数的平均值。

4、校正估计值以得到最小二乘均数：校正估计值时，需要调整协变量（即年龄）的影响。我们会计算出在平均年龄下，不同性别组的预测分数。简单来说，这意味着：使用整个样本的年龄平均值将作为模型中的年龄。如果男性的平均年龄是45岁，女性为43岁，而整体样本的平均年龄是44岁，那么我们将在预测分数时都使用44岁这个平均年龄。假设模型给了我们以下估计的系数：

β0（截距，不包含性别和年龄时的基本分数） = 50分

β1（性别，对于女性的加成） = 5分

β2（年龄，每增加一岁的加成）= 0.5分

那么，最小二乘均数对于每个性别组别将是：

对于男性：LSM = β0 + β1 * 0 + β2 * 44

对于女性：LSM = β0 + β1 * 1 + β2 * 44

代入数字后：

男性的LSM = 50 + 0 + 0.5 * 44 = 72分

女性的LSM = 50 + 5 + 0.5 * 44 = 77分

解释：即使男女的原始平均分可能不同，校正后的最小二乘均数告诉我们一个更加精确的故事：控制年龄因素后，平均来看，女性在测试中的分数比男性高5分。

       这样校正得到的最小二乘均数在统计上更为准确，因为它消除了协变量可能带来的偏差。在实际应用中，最小二乘均数的计算可能会涉及到更复杂的模型和多个协变量，但基本的思路是一致的：控制其他变量来得到更加公平的比较。

       最小二乘均数的计算通常需要专门的统计软件，如SAS、SPSS、R或Python等，其中包含用于拟合复杂模型和计算最小二乘均数的特定函数或包。这些软件会处理包括求解系数、进行均值的预测与调整等在内的复杂数学运算。

二、原始均值与校正均值

      在计算校正估计值以得到最小二乘均数（第4步）的过程中，实际上并不需要直接计算原始平均分（第3步）。原始平均分通常是没有考虑任何协变量影响的简单平均值，而最小二乘均数则是考虑了模型中的协变量之后的调整过的平均值。在实际的统计分析中，我们通常会同时报告原始平均分和最小二乘均数，这两者可以提供不同的信息：

原始平均分 告诉我们在不考虑其他因素（如协变量）的影响下，数据的简单平均表现是多少。这可以作为一个参考点，但可能包含了许多混杂因素的影响。

最小二乘均数 提供了一个在控制了协变量后更加“公正”的比较。这是一种更加复杂、精细的估计。

       当报告研究结果时，原始平均分可能会先被展示，以显示出在没有任何调整的情况下，数据的基本情况。之后，研究者会报告最小二乘均数，来展示在考虑了其他变量后的比较结果。这有助于强调协变量的影响，并且提供了一个更准确的考虑了背景变量影响的均值。

       换句话说，原始平均分是为了展示数据未经修正的状态，而最小二乘均数是为了在模型的框架下提供一个经过校正的、无偏的比较。为了让读者或观众更好地理解研究结果的含义，这两种均值往往同时报告。但对于进行数据分析和解释来说，最小二乘均数更为关键，因为它提供了一个统计学意义上的、考虑了所有已知影响因素的平均值。