06 回归算法 - 损失函数、过拟合欠拟合

== 损失函数 ==

损失函数是衡量一个模型好坏的指标，一般来说损失函数的值越小越好。

0~1损失函数：

J(θ)=

如果预测值不等于真实值，J(θ)值加1。
该函数只能用在分类的模型中，因为回归预测出的结果不太可能完全一致，一般回归模型要求是预测结果误差越小越好。

感知损失函数：

J(θ)=

如果真实值和预测值之间的误差超过某个阈值t，J(θ)值加1。

平方和损失函数：

J(θ)=
预测值与实际值差的平方和，即最小二乘法。

绝对值损失函数：

J(θ)=
预测值与实际值差的绝对值的和，即最小二乘法。

绝对值损失函数：

J(θ)=
解决多分类的损失函数，即logistic回归的损失函数。

== 过拟合欠拟合 ==

注意：上述公式中，有累加符号的是代价函数，去掉其累加符号就是对应的损失函数。这个概念要了解一下。

损失函数（Loss Function ）是定义在单个样本上的，算的是一个样本的误差。

代价函数（Cost Function ）是定义在整个训练集上的，是所有样本误差的平均，也就是损失函数的平均。

损失函数是评估模型好坏的一个指标，而一个模型坏的时候无非就是过拟合和欠拟合的问题。

下面我们看看模型过拟合和欠拟合分别是怎样的情况。

随着时间推移，话题k和用户兴趣之间的关系 过拟合

过拟合的预测会去刻意得迎合异常值，导致预测值的方差Ω(f)会比较大。

欠拟合

欠拟合的预测，预测值和真实值本身差距就很远。预测的偏差L(f)很大。

良好拟合的状态

好的模型不会刻意得迎合异常值，同时预测也相对的准确。

误差是有两部分构成的：过拟合的方差+欠拟合的偏差²。
同时又有公式如下：
误差 = E(预测值-真实值)²; E表示期望 (求平均)

通过上述公式可以推导出一个 的概念
这里推荐一篇英文文献《Understanding the Bias-Variance Tradeoff》
http://scott.fortmann-roe.com/docs/BiasVariance.html

方差偏差权衡

横坐标表示从欠拟合状态逐渐发展到过拟合状态的过程。
纵坐标表示误差的值由低到高。
1、首先看最上方的曲线，表示总体的误差值。当模型欠拟合的时候总体误差值是最很大的，当模型的拟合度逐渐提高的时候，总体模型预测的误差值随之减小。但当拟合程度向过拟合发展的时候，虽然训练集上的拟合程度越来越高，但是在测试集上的误差会越来越大。
2、中间的曲线，表示偏差。随着拟合程度的增加，偏差会逐渐减小。
3、最下方的曲线，表示方差。随着拟合程度的增加，方差会逐渐增大。

过拟合-方差

有同学反馈不明白 “ 过拟合的预测会去刻意得迎合异常值，导致预测值的方差Ω(f)会比较大。” 这句话的意思，我补充一下。
根据上面的图，x表示实际值，直线和曲线分别是两条模型。
这里的直线是一个比较优秀的模型，原来在于：
1、对于数据的预测该模型体现了一个明确的增长趋势。
2、虽然有误差但是误差始终保持在直线的上下两侧。
而曲线模型为了拟合每一个点，导致增减的趋势不明确，会对预测造成偏差。

所以最优的模型是当拟合程度处于虚线位置附近时的模型，取的是偏差和方差之间的权衡。

至于下面的公式为何成立，我们后续再解答。

误差 = 过拟合的方差+欠拟合的偏差²