连通图的生成树定义：
连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只足已构成一棵树的n-1条边。
- 图是连通图；
- 图中包含了N个顶点；
-
图中边的数量等于N-1条边；
示例
最小生成树
把构成联通网的最小代价的生成树成为最小生成树。
示例
图中粗线部分，便是联通了全部顶点 代价最小的生成树。
那如何构建一个最小生成树？
1. Prim算法
从一个顶点V0开始，不断选取未遍历的边中权值最小的边。
核心思路：
- 定义2个数组; adjvex ⽤来保存相关顶点下标; lowcost 保存顶点之间的权值；
- 初始化2个数组, 从v0开始寻找最⼩⽣成树, 默认v0是最⼩生成树上第一个顶点 ；
- 循环lowcost 数组,根据权值,找到顶点 k， 更新lowcost 数组；
- 循环所有顶点,找到与顶点k 有关系的顶点，并更新lowcost 数组与adjvex 数组;
注意:
更新lowcost 数组与adjvex 数组的条件:
- 与顶点k 之间有连接
- 当前结点 j 没有加⼊过最⼩生成树;
-
顶点 k 与 当前顶点 j 之间的权值 ⼩于 顶点j 与其他顶点 k 之前的权值，则更更新。 简单说就是要⽐较之前存储的值要小,则更新。
示例
prim演练
prim演练
采用邻接矩阵实现
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITYC 65535
typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef struct {
int arc[MAXVEX][MAXVEX];
int numVertexes, numEdges;
}MGraph;
创建一个图：
/*9.1 创建邻接矩阵*/
void CreateMGraph(MGraph *G)/* 构件图 */
{
int i, j;
/* printf("请输入边数和顶点数:"); */
G->numEdges=15;
G->numVertexes=9;
for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
{
for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
{
if (i==j)
G->arc[i][j]=0;
else
G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITYC;
}
}
G->arc[0][1]=10;
G->arc[0][5]=11;
G->arc[1][2]=18;
G->arc[1][8]=12;
G->arc[1][6]=16;
G->arc[2][8]=8;
G->arc[2][3]=22;
G->arc[3][8]=21;
G->arc[3][6]=24;
G->arc[3][7]=16;
G->arc[3][4]=20;
G->arc[4][7]=7;
G->arc[4][5]=26;
G->arc[5][6]=17;
G->arc[6][7]=19;
for(i = 0; i < G->numVertexes; I++)
{
for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
{
G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
}
}
}
最小生成树：
/* Prim算法生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Prim(MGraph G) {
int min, i, j, k;
int sum = 0;
/* 保存相关顶点下标 */
int adjvex[MAXVEX];
/* 保存相关顶点间边的权值 */
int lowcost[MAXVEX];
/* 初始化第一个权值为0，即v0加入生成树 */
/* lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树 */
lowcost[0] = 0;
/* 初始化第一个顶点下标为0 */
adjvex[0] = 0;
//1. 初始化
for(i = 1; i < G.numVertexes; i++) { /* 循环除下标为0外的全部顶点 */
lowcost[i] = G.arc[0][i]; /* 将v0顶点与之有边的权值存入数组 */
adjvex[i] = 0; /* 初始化都为v0的下标 */
}
//2. 循环除了下标为0以外的全部顶点, 找到lowcost数组中最小的顶点k
for(i = 1; i < G.numVertexes; i++) {
/* 初始化最小权值为∞， */
/* 通常设置为不可能的大数字如32767、65535等 */
min = INFINITYC;
j = 1;k = 0;
while(j < G.numVertexes) { /* 循环全部顶点 */
/* 如果权值不为0且权值小于min */
if(lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min) {
/* 则让当前权值成为最小值,更新min */
min = lowcost[j];
/* 将当前最小值的下标存入k */
k = j;
}
j++;
}
/* 打印当前顶点边中权值最小的边 */
printf("(V%d, V%d)=%d\n", adjvex[k], k ,G.arc[adjvex[k]][k]);
sum += G.arc[adjvex[k]][k];
/* 3.将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务 */
lowcost[k] = 0;
/* 循环所有顶点,找到与顶点k 相连接的顶点
1. 与顶点k 之间连接;
2. 该结点没有被加入到生成树;
3. 顶点k 与 顶点j 之间的权值 < 顶点j 与其他顶点的权值,则更新lowcost 数组;
*/
for(j = 1; j < G.numVertexes; j++)
{
/* 如果下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */
if(lowcost[j] != 0 && G.arc[k][j] < lowcost[j])
{
/* 将较小的权值存入lowcost相应位置 */
lowcost[j] = G.arc[k][j];
/* 将下标为k的顶点存入adjvex */
adjvex[j] = k;
}
}
}
printf("sum = %d\n",sum);
}
测试：
int main(void) {
printf("Hello,最小生成树_Prim算法\n");
MGraph G;
CreateMGraph(&G);
MiniSpanTree_Prim(G);
return 0;
}
//
Hello,最小生成树_Prim算法
(V0, V1)=10
(V0, V5)=11
(V1, V8)=12
(V8, V2)=8
(V1, V6)=16
(V6, V7)=19
(V7, V4)=7
(V7, V3)=16
sum = 99
2. Kruskal算法
核心思路
- 将邻接矩阵 转化成 边表数组;
- 对边表数组根据权值按照从⼩到⼤的顺序排序;
- 遍历所有的边, 通过parent 数组找到边的连接信息; 避免闭环问题;
- 如果不存在闭环问题,则加⼊到最⼩生成树中. 并且修改parent 数组;
全局贪婪最小权值的边(通过排序)，同时防止形成环。
如何防止形成环：
1: 通过一个数组，记录边的开头和结尾沿着路径到达尾部的时候的顶点。
2: 遍历边，判断边的开头和结尾沿着路径到达尾部的时候，是否会来到同一个顶点。
3: 如果来到同一个顶点，说明形成环。
4: 如果来到了不同的顶点，说明没有形成环。
演练
演练
遍历越靠后，n = m 的几率越来越大，后入树的顶点很容易与之前的顶点形成闭环。
边表数组结构，使用上边创建的邻接矩阵的图。
typedef struct {
int arc[MAXVEX][MAXVEX];
int numVertexes, numEdges;
}MGraph;
/* 对边集数组 Edge结构的定义 */
typedef struct {
int begin;
int end;
int weight;
}Edge ;
kruskal算法实现：
/* 交换权值以及头和尾 */
void Swap1(Edge *edgeA,Edge *edgeB){
Edge temp = *edgeA;
*edgeA = *edgeB;
*edgeB = temp;
}
//冒泡排序 边表数组
void sort(Edge edges[],MGraph *G) {
int i,j;
for (i = 0; i < G->numEdges; i++) {
for (j = i+1; j < G->numEdges; j++) {
if (edges[i].weight > edges[j].weight) {
Swapn(edges, i, j);
}
}
}
printf("边集数组根据权值排序之后的为:\n");
for (i = 0; i < G->numEdges; I++)
{
printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
}
}
/* 查找连线顶点的尾部下标 */
//根据顶点f以及parent 数组,可以找到当前顶点的尾部下标; 帮助我们判断2点之间是否存在闭环问题;
int Find(int *parent, int f) {
while ( parent[f] > 0) {
f = parent[f];
}
return f;
}
/* 生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G) {
int i, j, n, m;
int sum = 0;
int k = 0;
/* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路
用来记录顶点间的连接关系. 通过它来防止最小生成树产生闭环;*/
int parent[MAXVEX];
/* 定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型 */
Edge edges[MAXEDGE];
/*1. 用来构建边集数组*/
for ( i = 0; i < G.numVertexes-1; i++) {
for (j = i + 1; j < G.numVertexes; j++) {
//如果当前路径权值 != ∞
if (G.arc[i][j]<INFINITYC) {
//将路径对应的begin,end,weight 存储到edges 边集数组中.
edges[k].begin = I;
edges[k].end = j;
edges[k].weight = G.arc[i][j];
//边集数组计算器k++;
k++;
}
}
}
//2. 对边集数组排序
sort(edges, &G);
//3.初始化parent 数组为0. 9个顶点;
// for (i = 0; i < G.numVertexes; I++)
for (i = 0; i < MAXVEX; I++)
parent[i] = 0;
//4. 计算最小生成树
printf("打印最小生成树：\n");
/* 循环每一条边 G.numEdges 有15条边*/
for (i = 0; i < G.numEdges; i++){
//获取begin,end 在parent 数组中的信息;
//如果n = m ,将begin 和 end 连接,就会产生闭合的环.
n = Find(parent,edges[i].begin);
m = Find(parent,edges[i].end);
//printf("n = %d,m = %d\n",n,m);
/* 假如n与m不等，说明此边没有与现有的生成树形成环路 */
if (n != m) {
/* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。 */
/* 表示此顶点已经在生成树集合中 */
parent[n] = m; //parent[4] = 7 表示 V4——>V7连接了，V4，V7已经入了最小生成树了
/*打印最小生成树路径*/
printf("(%d -> %d) weight = %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
sum += edges[i].weight;
}
}
printf("sum = %d\n",sum);
}
测试：
int main(int argc, const char * argv[]) {
printf("Hello,最小生成树_Kruskal算法\n");
MGraph G;
CreateMGraph(&G);
MiniSpanTree_Kruskal(G);
return 0;
}
//
Hello,最小生成树_Kruskal算法
边集数组根据权值排序之后的为:
(4, 7) 7
(2, 8) 8
(0, 1) 10
(0, 5) 11
(1, 8) 12
(3, 7) 16
(1, 6) 16
(5, 6) 17
(1, 2) 18
(6, 7) 19
(3, 4) 20
(3, 8) 21
(2, 3) 22
(3, 6) 24
(4, 5) 26
打印最小生成树：
(4 -> 7) weight = 7
(2 -> 8) weight = 8
(0 -> 1) weight = 10
(0 -> 5) weight = 11
(1 -> 8) weight = 12
(3 -> 7) weight = 16
(1 -> 6) weight = 16
(6 -> 7) weight = 19
sum = 99
get：parent数组+Find函数，防止了图中新加入的顶点与已加入的顶点形成闭环。
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