----桂山夜话（2023.10.27）
数学是研究空间形式与数量关系的科学。“关系”是数学研究的重要内容。
按照现行教材，截止二年级上册第四单元《表内除法（一）》，学生已经学习了加法、减法、乘法和除法，那么这四种运算之间的关系，是不是也需要借助具体问题，及时帮助学生厘清与沟通呢？
显然是需要的！以下便是课堂教学实践的片段。
一、看图说算式
师在黑板上摆出6个圆片，如图所示：
（第一张照片，晚上到教室里补拍，没有灯光，所以较暗。后来，带上圆片回到办公室，在办公桌上摆好，拍摄，成第二张照片。）
师：根据这些圆片，我们能得到加法算式。谁会说？
生：2+2+2=6。
师：为什么可以得到这样的加法算式？
生：因为2个2个摆，有3个2，一共有多少个，就是2+2+2=6。
师根据生口答板书。
师：除了加法算式，还能得到其他算式吗？
生：还可以得到乘法算式2×3=6或者3×2=6。
师：可以得到哪些乘法算式，谁再说？
生：2×3=6或者3×2=6。
师：可以得到加法算式，我们已经知道了。为什么还能得到乘法算式呢？
生：因为加数相同，可以算乘法。
生：3个2相加，就是3×2或者2×3。
师根据生口答板书乘法算式。
师：我们刚刚学习过除法。由这些圆片，能得到除法算式吗？
生：把乘法倒过来，就可以了！6÷2=3，还有6÷3=2。
师：谁听讲好？把两道除法算式再说一遍？
生：6÷2=3，6÷3=2。
师：由乘法算式可以得到除法算式，我们说，除法是乘法的逆运算。那么，结合摆出来的圆片，这两道除法算式分别表示什么意思呢？
生：6个圆片，每份2个，可以分成3份。
师：我们可以像他这样，先说说被除数表示什么，再说说除数表示什么，最后说说商表示什么。全部说完，正好三句话。谁能像他这样再来说一说6÷2=3？
生：6个圆片，每份2个，分成3份。
师：6÷3=2呢？
生：6个圆片，分成3份，每份2个。
师：说得不完整。谁知道怎么改？
生：6个圆片，平均分成3份，每份2个。
师：说6÷2=3的时候，为什么不需要说平均分成呢？
生：每份2个，就是告诉我们要平均分。
生：每份2个，就是告诉我们是平均分。
师：好的！6÷3=2，谁再说一说？
生：6个圆片，平均分成3份，每份2个。
师：根据这些圆片，可以得到加法算式，也可以得到？
生：乘法算式。
师：还可以得到？
生：除法算式。
师：那能得到减法算式吗？先跟你的同座位交流交流。
生：……
师：谁来说给大家听？
生：6-2-2-2=3。
师：谁听讲好？
生：6-2-2-2=0。
师：有6个圆片，很清楚。为什么要减2？
生：因为每份有2个圆片。
生：因为圆片是2个2个摆。
师：好的，一共要减几个2？
生：要减3个2，因为黑板上 一共有3个2。
生：……
师根据学生口答板书减法算式。
二、看式想关系
师：由摆成的圆片，我们可以得到已经学习过的加法……
生：减法、乘法、除法算式。
师：那就说明这些算法之间有关系。能看出来有哪些关系吗？先把你的发现和你的同座位说一说。
师：谁先说？
生：除法是乘法的逆运算。
师：根据乘法可以得到除法，回想一下，根据加法，也可以得到什么？
生：减法。
师：所以，除法是乘法的逆运算，减法是加法的逆运算。
师根据学生口答板书。
生：加数相同，可以算乘法。乘法是减法的简便运算。
师：谁听讲好？
生：加数相同算乘法，乘法是加法的简便运算。
师：除法和减法呢？有关系吗？
生：除法是减法的简便运算。
师：为什么？
生：6-2-2-2=0就是6连续减去3个2，算式变得更短，更加简便。
师：从6-2-2-2=0到除法，算式变短，更加简便。并且算式之间还有联系，谁再说？
生：6连续减去3个2，就是6÷2=3或者6÷3=2。
师：根据这个关系，12可以连续减去2，需要连续减去几个2？
生：连续减去6个2。
师：为什么？
生：因为二六十二。
师：可以想哪句乘法口诀？
生：二六十二。
师：12还可以连续减去3，需要连续减去几个3？
生：连续减去4个3，因为三四十二。
师：12还可以连续减去几？
生：12可以连续减去3个4。
生：12可以连续减去6，减去2个6。
师：借助乘法口诀不仅可以算除法，还可以写出减法算式。真厉害！
师：除法确实比减法简便。是不是所有减法算式都能写成除法算式呢？
生：不是，必须要减数相同，才可以。
师根据学生口答板书：减数相同算除法。
师：通过分析，我们发现了加法、减法、乘法、除法之间的关系。下面，同座位两人，再互相说一说刚才被我们发现的这些关系。
【回顾反思】
关键之一：逆运算
根据逆运算，沟通起除法与乘法、减法与加法的关系。
关键之二：简便运算
根据算式变短，结果不变，看出乘法比加法简便、除法比减法简便，沟通起乘法与加法、除法与减法之间的关系。
以此，基本实现了一种运算与其他三种运算之间的关系。以加法为例，加数相同可以算乘法，乘法是加法的简便运算。减法是加法的逆运算。而除法又是减法的简便运算。
这种沟通，教材当中没有要求专门进行，但是，在实际教学中，需要加以关注和落实：一来树立学生沟通关系的意识，逐步形成自觉的行为；二来教学沟通关系的方法，助力学生沟通关系能力的提升，使结构化教学不仅作为教师的需求，也成为学生的需求，并能够有效落地。
----2023年10月27日，写于桂山脚下。
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