声场能量密度能流密度声强

作者: itkkanae | 来源:发表于2020-04-21 20:31 被阅读0次

声能
定义：由于声波传播而引起的介质能量的增量称为声能
声传播过程中质点振动引起能量变化成为声动能 $E_{k}$
声传播过程中介质形变引起能量变化成为声势能 $E_{P}$

声能量密度
定义：声场中单位体积介质所具有的机械能为声场的声能量密度
假定在静止条件下，初速度为0，容易得到声动能的表达式：
$E_{k}=\frac{1}{2}m\overset{\rightarrow}{\mu}^{2}$

将质量替换为初始密度和初始体积还可以表示为：
$E_{k}=\frac{1}{2}\rho_{0}V_{0}\overset{\rightarrow}{\mu}^{2}$

下面假设在声场作用下，压强和体积由 $p_{0}$ 、 $V_{0}$ 变为 $p$ 、 $V$ ，声场引起的力做功为：
$E_{P}=\int\Delta fdl=\int\Delta pSdl=\int\Delta pdV\approx\frac{1}{2}\Delta p\Delta V$

将体积变化量用密度表示可得：
$\frac{1}{2}\Delta p\Delta V=\frac{1}{2}\Delta p(\frac{m}{\rho_{0}+\Delta\rho}-\frac{m}{\rho_{0}})=\frac{1}{2}\Delta p\frac{m\Delta\rho}{(\rho_{0}+\Delta\rho)\rho_{0}}$

因为 $\Delta\rho$ 相对于 $\rho_{0}$ 可以忽略不计，得：
$E_{P}\approx\frac{1}{2}\Delta p\frac{m\Delta\rho}{(\rho_{0}+\Delta\rho)\rho_{0}}\approx\frac{1}{2}\Delta p\frac{m\Delta\rho}{\rho_{0}^{2}}$

将状态方程 $\Delta p=c_{0}^{2}\Delta\rho$ 带入上式，得：
$E_{P}\approx\frac{1}{2}\frac{\Delta p^{2}}{\rho_{0}c_{0}^{2}}V_{0}$

机械能为：
$E=E_{k}+E_{P}=\frac{1}{2}\rho_{0}V_{0}\overset{\rightarrow}{\mu}^{2}+\frac{1}{2}\frac{\Delta p^{2}}{\rho_{0}c_{0}^{2}}V_{0}$

能量密度为：
$U=\frac{E}{V}=\frac{1}{2}\rho_{0}\overset{\rightarrow}{\mu}^{2}+\frac{1}{2}\frac{\Delta p^{2}}{\rho_{0}c_{0}^{2}}$

声能流密度
定义：单位时间内垂直于声传播方向截面上单位面积通过的声能量
依然用下图来分析微元内的能量变化，设能流密度函数为 $\overset{\rightarrow}{S}=S_{x}\overset{\rightarrow}{i}+S_{y}\overset{\rightarrow}{j}+S_{z}\overset{\rightarrow}{k}$

不难得到x方向能量变化量：
$E_{A}=dydz(S_{x}-\frac{\partial S_{x}}{\partial x}\frac{1}{2}dx)dt$

$E_{B}=-dydz(S_{x}+\frac{\partial S_{x}}{\partial x}\frac{1}{2}dx)dt$

$\Delta E_{x}=E_{A}+E_{B}=-\frac{\partial S_{x}}{\partial x}dVdt$

进一步得到微元的能量变化量
$\Delta E=-(\frac{\partial S_{x}}{\partial x}+\frac{\partial S_{y}}{\partial y}+\frac{\partial S_{z}}{\partial z})dVdt$

$\frac{\Delta E}{dt}=-\bigtriangledown\overset{\rightarrow}{S}dV$

将能量变化量用能量密度表示得：
$\frac{\Delta UdV}{dt}=-\bigtriangledown\overset{\rightarrow}{S}dV$

约去体积微元得到能量密度和能流密度关系：
$\frac{\partial U}{\partial t}=-\bigtriangledown\overset{\rightarrow}{S}$

等式左边可表示为：
$\frac{\partial U}{\partial t}=\frac{1}{2}\rho_{0}\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}^{2}}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{1}{\rho_{0}c_{0}^{2}}\frac{\partial\Delta p^{2}}{\partial t}$

直接对 $\overset{\rightarrow}{\mu}^{2}$ 和 $p^{2}$ 求偏导得到
$\frac{\partial U}{\partial t}=\frac{1}{2}\rho_{0}2\overset{\rightarrow}{\mu}\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{1}{\rho_{0}c_{0}^{2}}2\Delta p\frac{\partial\Delta p}{\partial t}$

$\frac{\partial U}{\partial t}=\overset{\rightarrow}{\mu}\rho_{0}\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial t}+\Delta p\frac{1}{\rho_{0}c_{0}^{2}}\frac{\partial\Delta p}{\partial t}$

第一项带入运动方程 $\rho_{0}\frac{\partial\overset{\rightarrow}{\mu}}{\partial t}=-\bigtriangledown\Delta p$ 得：
$\frac{\partial U}{\partial t}=-\overset{\rightarrow}{\mu}\bigtriangledown\Delta p+\Delta p\frac{1}{\rho_{0}c_{0}^{2}}\frac{\partial\Delta p}{\partial t}$

联立连续性方程 $\frac{\partial\Delta\rho}{\partial t}=-\rho_{0}\bigtriangledown\overset{\rightarrow}{\mu}$ 和状态方程 $\Delta p=c_{0}^{2}\Delta\rho$ 得：
$\frac{\partial\Delta p}{\partial t}=c_{0}^{2}\frac{\partial\Delta\rho}{\partial t}=-c_{0}^{2}\rho_{0}\bigtriangledown\overset{\rightarrow}{\mu}$