毕达哥拉斯 - 概念图

谁最早证明了勾股定理

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上. 谁最早证明了勾股定理？(本文)

中. 勾股定理的三个“最早”证明方法(点击直达)

下. 论发布证明的重要性(点击直达)

勾股定理是谁最早发现的？这个已无从查起。但是，我一直认为勾股定理最早是由希腊的毕达哥拉斯或毕达哥拉斯学派证明的，所以西方将它称为毕达哥拉斯定理。

直到有一天，我突然在某数学类公众号中看到一篇文章，上面写着不明白为什么西方将勾股定理称作毕达哥拉斯定理。我在下面留言道：因为这个定理最早是由毕达哥拉斯证明的。作者给我回复道：我手头的资料没有证据证明，确实是由毕达哥拉斯最早证明的。

我有点惊讶，难道我一直认为的是错的？甚至后背有点凉，因为我已经不止在一堂课上给学生普及过这一知识。

那么我为什么一直有这样的印象？后来翻开书架上韩雪涛写的《数学悖论与三次数学危机》这本书，发现了我这一印象的来源。

毕达哥拉斯本人没有留下什么著作，而学派内部的发明创造又秘而不宣，因此外人鲜知其详。……最有名的贡献则是发现了勾股定理的证明。据说毕达哥拉斯为此曾贡献百牛以作庆贺。……正因为西方人认为是毕达哥拉斯最早证明了这一结论，因此西方将勾股定理冠以毕达哥拉斯定理之名，称这一结论为毕达哥拉斯定理，并一直沿用至今。

蔡天新的《数之书》中也由类似的论述。

不过，西方人将此结论成为毕达哥拉斯定理，并早已约定俗成了。一来古代东西方文化和科技交流几乎隔绝，二来毕达哥拉斯率先给出了证明。

杜石然在其《世界数学史》中写道：

毕达哥拉斯发现了著名的“勾股定理”．但是，在什么情况发现的？怎样证明的？说法不尽一致．普罗克洛斯在注释欧几里得《几何原本》第1卷题47时，说得也不明确，指出在古代历史上有各种传说，据说这个定理是毕达哥拉斯发现的，毕达哥拉斯为了庆贺自己的业绩，杀了一百头牛．普洛塔克(Plutarch，约46---120)也有类似的说法，指出毕达哥拉斯是用填加面积的方法证明“勾股定理”的．

请注意，这本书中表述的时候很有意思，说发现的时候作者用了“据说”一词，表明也许这是道听途说，未必是事实。说证明的时候指出是“普洛塔克”说的，和我无关，我自己不给结论。

那么，说毕达哥拉斯最早证明了勾股定理是有争议的，有根据吗？

大数学家克莱因在其名著《古今数学思想》中说道：

至于他们是否证明了毕达哥拉斯定理这一问题，曾有许多人探讨过，而答案则是它们可能并未证明。如果用相似三角形，这是相当容易证明的，但毕达哥拉斯学派并没有完整的相似形理论。欧几里得《原本》第一篇第47命题给出的证明是难的，因它并未应用相似形理论，而普洛克鲁斯是把这一证明归功于欧几里得本人的。关于毕达哥拉斯派几何里有没有证明这一问题，最合理的结论是：在该学派存在的大部分时间里，他们是根据一些特例来肯定所得的结果的。不过到了学派晚期，即公元前400年左右，由于其他方面的发展，证明在数学中所处的地位改变了；所以学派晚期的成员可能做出了合法的证明。

数学史家卡尔·博耶，在他的《数学史》中也说道：

有人提出，既然他被称为“毕达哥拉斯定理”，那么就有理由认为是毕达哥拉斯首先提供了证明。但这个猜测无法得到证实。据传说毕达哥拉斯因为发现了这个定理（或者是它的证明方法），而献祭了一头公牛（据另一个版本说是100头），但从该学派的素食规定来看，这些传说是难以令人置信的。

也许你发现了，老外认为勾股定理最早由毕达哥拉斯学派证明是有争议的，但好像中国人则更倾向于，确实是由他们证明的。其实不然。我国数学家李文林在其著名的《数学史概论》中说：

一般认为，欧几里得《原本》前二卷的大部分材料来源于毕达哥拉斯学派。这种看法带有很大的推测成分，包括西方文献中一直以毕达哥拉斯的名字命名勾股定理，据传毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，曾杀牛祭神（甚至有传说宰了一百头牛），但迄今为止没有毕达哥拉斯发现和证明了勾股定理的直接证据。上述宰牛传说最早出自公元前2世纪希腊学者阿波罗多罗斯的《希腊编年史》，不过阿波罗多罗斯并未说明是哪条定理，并且后来人们指出宰牛之说与毕达哥拉斯学派的素食主义相违。尽管如此，人们仍然对毕达哥拉斯证明勾股定理的方法给出了种种猜测，其中最著名的是普鲁塔克的面积剖分法。……毕达哥拉斯本人是否确用这种方法证明勾股定理，这件事很值得怀疑。

也许你注意到了，李老师在书中说，其实欧几里得的几何原本中给出了勾股定理的证明。这是迄今为止有书面证据的最早的勾股定理的证明。而至于这些证明是不是源于毕达哥拉斯学派，现在还有争议。

连韩雪涛也说：

毕达哥拉斯创建的学派在他生前与死后都进行了大量的数学研究，并得到了众多的数学发现。他们的成果后来被欧几里得收入《几何原本》中，成为希腊数学的重要组成部分。不过，这些数学成果究竟是由何人在何时做出的，大都很难考证清楚了。

这里我们可以看到，如果你确实证明了，将这一证明公诸于世是多么的重要。但是古代的人是怎么想的，当时是什么情况，是什么文化，什么习俗，什么科研环境，我们统统不得而知，也很难想象。所以才有：

毕达哥拉斯与泰勒斯一样，也是扑朔迷离的传说人物。二者都没有著作留世，我们甚至不知道他们是否写过书面的著作。今人对毕达哥拉斯生平与工作的了解，主要也是通过普洛克鲁斯等人关于希腊数学著作的评注，另外还有柏拉图、希罗多德的著述也提供了一些信息。