Week 5

Nathan Benjamin, Christoph A. Keller, Hirosi Ooguri and Ida G. Zadeh “Narain to Narnia”

一个带有word play的有趣的题目，灵感是来源一个介绍knot theory的视频的题目“Knots to Narnia”。虽然没看过纳尼亚传奇，但是还是听说过的，所以能get 到一点题目的乐趣。文章还是关于ensemble average/gravity 对偶的，是对去年Maloney和Witten等人工作的一个推广。

可能我们最熟悉的一个ensemble theory是SYK model，与一般的量子力学模型不同的是SYK的coupling 不是一个固定的值，而是满足某一个概率分布。如果我们认为不同的coupling定义了不同的量子力学模型，那么就可以把SYK model 看成是对很多量子力学系统做系综平均得到的理论。更一般的情况是，如果我们认为每一个Hermition matrix都对应了一个量子力学的哈密顿量，那么对所有Hermition matrix 做某种系综平均得到的理论就是matrix model，现在我们知道 JT 引力可能与一个matrix model （在取合适的极限下）等价。

如果我们严肃地看待ensemble average/gravity 对偶，把这个对偶推广到高维，那么我们可能需要考虑的问题如何对场论进行系综平均，然后看得到的系综理论是否可以有一个引力理论的解释。可能最简单的尝试是类似SYK model，我们之间对场论里面的coupling 进行某种系综平均。这似乎是等价于把coupling 也看成是一个场，然后在路径积分里把它积掉。如果要得到类似SYK结果，我们接下来需要引入 collective coordiantes。

更fancy的情况是类似matrix model，直接对场论做平均。对于CFT，这样的平均还在我们想象范围里，因为CFT完全是由他的谱还有OPE系数决定，这样对于CFT的平均就可以理解为对谱还有OPE的平均。另外一种可能是，我们考虑一个CFT所有的marginal deformation构成的moduli space，然后在对moduli space进行平均。但这只是formal 的定义，如何去实现这样的操作还是有很多困难的。

首先要面对的问题是，如何选取measure，换句话说就是如何定义这个系综。 如果我们采用对moduli spoce平均的方案的话且moduli space具有几何结构的话，那么就有一个自然的measure。Maloney & Witten等先前的工作就是考虑了所谓的Narain CFT，它的moduli space是一个coset space：

Narain CFT 简单地可以理解为是c 个 compact free bosons ，target space 是一个 torus 。即使是现在我们有一个良好定义的系综平均理论，但是一个技术问题就是如何做把积分积出来。M&W想到一个技巧就是把这个积分问题转化成了求解偏微分方程的问题，而正好这个方程我们是会求的。

或许我们可以这样理解这个技巧，可以把marginal deformation理解为在moduli space里面的一个flow，也就是说理论的哈密顿量满足某个flow equation，从这个flow equation 出发我们得到一个partition function 的flow equation。

他们的得到的系综平均后的partition function具有一个很简单的形式，可以写成U(1) Kac-Moody的character （free boson 的partition function）对torus 的moduli symmetry 求和：

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之前M&W还做算过另外一个东西，就是 Einstein引力理论的路径积分(对所有saddle point 求和)，结果和这个很类似，就是把U(1) Kac-Moody的character 变成了 Virasoro的真空character。再因为 Einstein引力理论与一个Chern-Simons 理论在微扰层面上等价，所以我们可以推测，刚刚求得的Narain average 与一个 Chern-Simons 等价。

新的这篇文章考虑了cyclic Orbifold Narain CFT 的系综平均。场论方面的计算完全类似。Bulk对应的理论期待也是一个Chern-Simons 理论但gauge group 是 。 因为离散的gauge symmetry，所以我们也要考虑twisted sector 的贡献，这样得到的partition function 才能和系综平均的理论吻合。Chern-Simons 理论的twisted sector可以理解为是我们在空间加入了一些defects (’t Hooft line)。比较特殊的是这些twisted sector反应了拓扑的一般性质，与moduli 无关，所以对它们的平均是trivial的。

文章还计算了四点关联函数，也是写成了一个求和的形式，场论的计算的技巧和之前类似，虽然没有做具体bulk的计算，但是文章给出来关联函数在bulk里面的解释：边界上的点是通过define line 连接起来的，4点函数就对应了bulk里面两条line defects，他们不同tangle的构型就对应了求和里的每一项。

(a) rational tangle.png

我觉得最有意思的是下面这个结果：

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如果不是系综理论，等式的左边应该是0。非0的贡献从引力角度来理解是来自于wormhole 的贡献。在等式的右边如果忽略的factor，那么这个结果是与之前没做orbifold的结果是一致的。现在做完orbifold之后，我们发先wormhole贡献有了一个的压低！可以想象如果，那么这个ensemble average 理论就和一个 一般的理论几乎一直。这个比较好理解，因为twisted sector 是与moduli 无关的，所有当twisted sector 占主导的时候，系综平均的贡献就越来越小，可以看成是一种fluctuation。但是这个压低要怎么从bulk理论来理解呢？为什么defect会抵消一部分wormhole的贡献呢？如果不考虑wormhole，仅仅考虑defect，那么又会有什么样的图像呢？