Week 18

作者: 悟空金月饺子 | 来源:发表于2021-09-18 12:02 被阅读0次

Flavio S. Nogueira, Souvik Benerjee, Moritz Dorband, Rene Meyer, Jeroen van den Brink and Johanna Erdmenger, "Geometric phases distinguish entangled states in wormhole quantum mechanics"

文章好像说了什么，又好像什么也没说。讲了一些可能是well-known但是处在我思维盲区的东西。本来我以为quantum state的entanglement structure 应该是可以完全确定一个quantum state 全部“物理”。事实上是有办法区分两个具有同样entanglement 结构的state的，就是利用geometric phase 或者 Berry phase。这一点可能是一个量子力学里面well-known的结果吧。但是在AdS/CFT的框架下，怎么来想这个问题呢？文章试图将这个性质与wormhole 联系起来。

我们可以通过一个简单toy model来了解Berry Phase。考虑这样一个two-spin 量子态

$|\psi_0\rangle=-\sin \frac{\alpha}{2}|1,0\rangle+\cos \frac{\alpha}{2} |0,0\rangle$
可以认为是一个简单量子力学模型
$H=J S_1\cdot S_2-2\mu_B B S_{1z}$
的基态。很明显这个态是有entanglement的。对于每一个spin，可以做一个unitary transformation
$U(\theta,\varphi)=e^{-i\varphi S_z}e^{-i\theta S_y}e^{i\varphi S_z}.$
而且量子态的entanglement在这个总的操作 $U=U_1(\theta,\varphi)\otimes U_2(\lambda\theta,\lambda\varphi)$ 下是不变的。但是我们可以定义Berry connection 还有Berry curvature
$A_B(\lambda)=I\langle \psi_0| U^\dagger dU |\psi_0\rangle,\quad F_B(\lambda)=dA_B$
这些量都是依赖参数 $\lambda$ 的，比如
$F_B(\lambda)=\frac{\sin \alpha}{2}(\sin\theta-\lambda^2 \sin(\lambda \theta))d\theta \wedge d\varphi.$
所以原则上可以通过计算Berry phase来区分这些不同的state $U(\lambda)\psi_0$ 虽然他们具有相同的entanglement。

我们也可以从数学的角度来理解这个问题。每一个spin可以用 $CP_1$ 的中一个点来描述。但是两个spin的量子态是用 $CP_3$ 来描述的。我们考虑所有具有entanglement entropy 等于某个常数的量子态，这些态对应了 $CP_3$ 中某个submanifold。因为local unitary transformation(这里意思是类似于这种 $U=U_1(\theta,\varphi)\otimes U_2(\lambda\theta,\lambda\varphi)$ tensor product形式的操作)不改变entanglement 所以在这个submanifold 上的两个点都可以通过 local unitary transformation 联系起来。如果只有1一个spin的话，这个态也会有Berry phase，这个phase是等于对Berry curvature的积分就是一个数，没有其他参数，所以不能用来区分不同的态。但是现在有了两个spin，Berry phase也会带有一个参数 $\lambda$ 。但是这里有一个奇怪的地方，原则来说 $U_2$ 可以取更一般的形式比如 $U_2(\theta_2,\varphi_2)$ , 即 $U_1$ 和 $U_2$ 完全独立，那么最后的Berry phase 就是两个volume 的差，应该是trivial的。要得到non-trivial的结果，关键是在求Berry phase的时候，怎么对form 进行积分，因为这个form不是exact的，所以有ambiguity。但是这个ambiguity要怎么fix呢？或者问题是怎么在实验中来真是测量这个Berry phase随 $\lambda$ 的变化呢？

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