1. 两矩阵特征值相同
能确定行列式、迹相等；不能确定秩相等，不能确定A～B（相似），不能确定A合同于B。
① 因为 |A|=λ1 λ2…λn，tr(A)=λ1+λ2+…+λn，所以 |A|=|B|，tr(A)=tr(B)。
② 有特征值 λ，不表示A可以～Λ。
③ 若 A～Λ，可推出 r(A)=非0的 λ 个数。
④ 合同需要实对称矩阵（考研范围中），λ 相等并不能保证。
【反例】：此例中，r(A)≠r(B)，且都不可相似对角化，且都不是实对称矩阵（不可合同）。
1.1 实对称矩阵A、B的特征值相同
实对称矩阵一定可以对角化，所以可得A、B相似于同一个对角阵，即 A～Λ～B。
又因为实对称，所以逆＝转置，也合同。
2. 二次型的标准型
2.1 标准型唯一吗
不唯一。如果是求得的
那么，标准型结果也就不同。
2.2 标准型与秩
标准型的项数是一定的，该项数就是非0系数，也就是正负惯性指数；正负惯性指数之和就是二次型的秩，也即。
注：如果A可以相似对角化，那么秩就是非零特征值的个数（正负惯性指数之和）。
2.3 标准型与特征值
。
可逆线性变换不改变正负惯性指数，经过变换得到的标准型，其对角线元素不一定是特征值！虽然二次型可以通过可逆线性变换（配方法），变成这样的对角阵，但是标准型有很多个，也就是有很多这样的对角阵；特征值是确定的，所以这些可逆线性变换得到的标准型，都不可以求出特征值。
特征值的求法：因为这些标准型与特征值无关，所以不能根据它们写特征多项式，而应该回到最初的二次型（实对称矩阵A），用特征方程做。
经典坑位：若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同（）
2.4 正交变换与特征值
正交变换就是在特征值的基础上做的，其结果得到的标准型，也就是特征值拼出的对角阵。诸多可逆线性变换中，只有正交变换得到的标准型，对角线元素，才是特征值。
2.5 两个二次型的标准型相同
确定什么？可以确定惯性指数相同，也即二次型平方项的系数正、负个数相等，或是正特征值、负特征值的个数相同。
不能确定什么？不能确定特征值。
3. 二次型的规范型
3.1 规范型唯一吗
，是因为惯性定理，决定了对于同一个二次型的不同标准型，正、负惯性指数p、q是一定的，而规范型是系数只有1、-1、0的情况。此时说唯一，是不考虑二次型的变量顺序的，比如可以都规定写的顺序是1，-1，0。
3.2 规范型与标准型
同一个规范型可能有多个标准型。
同一个标准型，不可能对应多个规范型。因为标准型的惯性指数是确定的。
3.3 规范型与合同（充要条件）
两个二次型（或者实对称矩阵）合同的充要条件是有相同的正负惯性指数，或有相同的秩及正（负）惯性指数
即规范型相同对应的不同矩阵是合同的。
4. 等价、相似与合同（★）
（相似，合同条件要高）
相似必等价，等价未必相似。（矩阵相似是秩相等的充分非必要条件）
合同必等价，等价未必合同。（等价秩相同但未必是实对称矩阵）
（使用正交变换得到的相似或合同时，相似与合同一致）
经正交变换后，两矩阵相似，则必合同。
经正交变换后，两矩阵合同，则必相似。
一般矩阵不适用。但实对称矩阵，一定可以相似对角化，所以特征值相同时，A ~ B，此时也合同
若相似，其特征值相同，所以p、q相同，必可以合同。
若合同，保证了正、负系数的个数相同，此时虽然可以相似对角化，但各自具体的特征值不一定相同，所以推不出A、B相似。
【例】对角矩阵2E合同于单位矩阵 E，而 E 只能和 E 相似，显然2E不相似于E（因为特征值不同）。
注：普通矩阵没有说相似一定合同，因为只在对称矩阵的时候，我们才讨论合同。
5.补充
实对称矩阵A和它的逆合同
可逆与是否可相似对角化
矩阵A可逆，它的秩为n，因为矩阵的秩与它是否有n个线性无关的特征向量是没有关系的，所以不一定可相似对角化
比如说一个三阶矩阵有三个不同的特征值2,1,0,则该矩阵一定可以对角化,有3个线性无关的特征向量,但它只有2个非零特征值,故对角矩阵的秩为2.而不是3
再比如一个三阶矩阵有三个不同的特征值2,1,3,则该矩阵一定可以对角化,必有3个线性无关的特征向量,它有3个非零特征值,它的秩为3
线性方程组Ax=0有n个线性无关的解向量，矩阵A列满秩,方程组唯一0解，要从线性方程组的角度取看是否可以相似对角化的问题
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