群体增长模型

一. 指数增长模型 exponential growth model

群体规模是时间t的函数：P(t)，且增长率与当前群体规模成比例关系，即P(t)/dt=kP [k为常数，相对增长率]。可得k=(1/P)*(P(t)/dt)。

k:相对增长率，为常数

我们改写下以上方程：

dP/P=kdt。再同时对两边积分：

即求得P(t)的总表达式

P0=A。即指数增长模型函数如下：

但如果一个群体是成指数衰减呢？Exponential Decay。即k为负数，这里我们依旧把k设为正，只在前面加一个负号就可以了：

对应的衰减模型如下：

指数增长模型是在资源无限的前提下，但实际并不是（在可考察的一段较短的时间内是），当群体规模达到一定数量的时候，由增长转为衰减，即当P>K时，P(t)/dt <0 。那么我们在原始方程那乘以一个系数，使得P>K时，系数变为负数：1-P/K，即：

求得：

K： carrying capacity

这就是Logistic Model。

但养着总得是要收割的嘛，所以我们再加入一个参数，一段时间内有c比例的群体被收割（c represents to rate per time period of the population harvested）：

我们知道有的群体是有抱团抵抗的能力的，当群体小到m规模的时候，就会灭绝，于是我们加入一个参数m，当群体数大于m的时候，保持正增长，当小于m的时候，群体走向灭绝：