【离散数学】图论（三）欧拉回路 （Euler Cycle）

正文之前

关于欧拉回路，在图论中有一个著名的问题，叫做柯尼斯堡七桥问题(Königsberg Bridge Problem)

本文根据此问题来介绍:

• 欧拉回路(Euler Cycle)
• 欧拉路径(Euler Path)

正文

问题简介：

这个问题是基于一个现实生活中的事例：当时东普鲁士科尼斯堡（今日俄罗斯加里宁格勒）市区跨普列戈利亚河两岸，河中心有两个小岛。小岛与河的两岸有七条桥连接。在所有桥都只能走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的桥都走遍？          ——Wikipedia Wikipedia

简化问题

我们先将上图中的七桥简化为如下所示：

第一眼看见，比划一下，就知道，在所有桥都只能走一遍的前提下，不能把这个地方所有的桥都走遍。
也就是说，如果遍历这个图，必须要重复经过某些边。

开始证明

欧拉在1735年提出，并没有方法能圆满解决这个问题，他更在第二年发表在论文《柯尼斯堡的七桥》中，证明符合条件的走法并不存在，也顺带提出和解决了一笔画问题。          ——Wikipedia

为了纪念欧拉，在一个图G中包含G的所有结点和边的回路称为欧拉回路,包含G的所有结点和边的路径称为欧拉路径

也就是说，如果欧拉路径闭合，就成了欧拉回路

注意回路的概念：从v_i到v_i的、长度非0的、不存在重复边的路径

所以上文所说的科尼斯堡七桥并不是欧拉回路。

存在欧拉回路（无向图）

前提条件

在图G中存在欧拉回路的前提条件为：

• 连通图

概念声明

关于一个图中是否存在欧拉回路，需要先说明两个概念：

• 奇结点（奇顶点）：连接该结点的边的数量为奇数
• 偶结点（偶顶点）：连接该结点的边的数量为偶数

证明（欧拉回路）

由于欧拉回路的性质：只能经过每条边一次，所以，对于每一个结点，至少需要有 2n 条边连接该结点（n = 0,1,2,...n），n = 0时，G中只含有一个结点v，则称路径(v)是G的欧拉回路。

也就是说，图G中存在欧拉回路的充要条件是G中每个结点都是偶结点。

设图G存在欧拉回路，则回路的起点和终点是同一结点，含有一条出边和一条入边，所以该结点为偶结点，以此类推，每个结点都连接有2n(n = 0,1,2,...n)
条边。

证明（欧拉路径）

图G中存在欧拉路径的充要条件和G中存在欧拉回路的充要条件有些相似：

• 图G中奇结点的个数为0或2

若奇结点的个数为0，则图G中存在欧拉回路，欧拉回路也是欧拉路径的一种。

若奇结点的个数为2，如上图中的欧拉路径，就存在两个奇结点，为欧拉路径，接下来证明这一点：

将两个奇结点相连，可知这是欧拉回路 (v₁,v₂,v₃,v₄,v₅,v₆,v₃,v₁)

将新增的边删去后，可知这是欧拉路径

欧拉路径(v₁,v₂,v₃,v₄,v₅,v₆,v₃),起点和终点分别是两个奇结点

关于欧拉回路和欧拉路径的介绍就到此了，谢谢大家！