本文是对 Swift Algorithm Club 翻译的一篇文章。
Swift Algorithm Club是 raywenderlich.com网站出品的用Swift实现算法和数据结构的开源项目,目前在GitHub上有18000+⭐️,我初略统计了一下,大概有一百左右个的算法和数据结构,基本上常见的都包含了,是iOSer学习算法和数据结构不错的资源。
🐙andyRon/swift-algorithm-club-cn是我对Swift Algorithm Club,边学习边翻译的项目。由于能力有限,如发现错误或翻译不妥,请指正,欢迎pull request。也欢迎有兴趣、有时间的小伙伴一起参与翻译和学习🤓。当然也欢迎加⭐️,🤩🤩🤩🤨🤪。
本文的翻译原文和代码可以查看🐙swift-algorithm-club-cn/Greatest Common Divisor
最大公约数算法(Greatest Common Divisor)
两个数字a
和b
的 最大公约数(或最大公因数)是将a
和b
整除都没有余数的最大正整数。
例如,gcd(39, 52) = 13
,因为13除以39(39/13 = 3
)以及52(52/13 = 4
),而且没有比13更大的数字。
在某些时候你可能不得不在学校里了解这一点。:-)
找到两个数字的GCD的费力方法是先找出两个数字的因子,然后取其共同的最大数。 问题在于分解数字是非常困难的,特别是当它们变大时。 (从好的方面来说,这种困难也是保证您的在线支付安全的原因。)
有一种更聪明的方法来计算GCD:欧几里德的算法。 这个算法主要观点是,
gcd(a, b) = gcd(b, a % b)
其中a%b
是a
除以b
的余数。
以下是Swift中这个想法的实现:
func gcd(_ a: Int, _ b: Int) -> Int {
let r = a % b
if r != 0 {
return gcd(b, r)
} else {
return b
}
}
在 playground 上,试试一些例子:
gcd(52, 39) // 13
gcd(228, 36) // 12
gcd(51357, 3819) // 57
让我们分步完成第三个例子:
gcd(51357, 3819)
根据欧几里德的规则,这相当于,
gcd(3819, 51357 % 3819) = gcd(3819, 1710)
因为51357 % 3819
的余数是1710
。 详细计算为51357 = (13 * 3819) + 1710
,但我们只关心余数部分。
所以gcd(51357, 3819)
与gcd(3819, 1710)
相同。 这很有用,因为我们可以继续简化:
gcd(3819, 1710) = gcd(1710, 3819 % 1710) =
gcd(1710, 399) = gcd(399, 1710 % 399) =
gcd(399, 114) = gcd(114, 399 % 114) =
gcd(114, 57) = gcd(57, 114 % 57) =
gcd(57, 0)
现在不能再进一步划分了。 114 / 57
的余数为零,因为114 = 57 * 2
。 这意味着我们找到了答案:
gcd(3819, 51357) = gcd(57, 0) = 57
因此,在欧几里德算法的每个步骤中,数字变得更小,并且在某个点上,当它们中的一个变为零时它结束。
顺便说一下,两个数字的GCD也可能为1.它们被认为是 互素(译注:也叫互质)。 当没有数字将它们整除时会发生这种情况,例如:
gcd(841, 299) // 1
下面是欧几里德算法略微不同的一种实现。 与第一个版本不同,它不使用递归,而只使用基本的while
循环。
func gcd(_ m: Int, _ n: Int) -> Int {
var a = 0
var b = max(m, n)
var r = min(m, n)
while r != 0 {
a = b
b = r
r = a % b
}
return b
}
函数顶部的 max()
和 min()
确保我们总是用较大的数字除以较小的数字。
最小公倍数
与GCD相关的想法是 最小公倍数 或叫做LCM。
两个数字a
和b
的最小公倍数是两者的倍数中最小的正整数。 换句话说,LCM可以被a
和b
整除。
例如:lcm(2, 3) = 6
,因为6可以被2整除,也可以被3整除。
我们也可以使用欧几里德算法计算LCM:
a * b
lcm(a, b) = ---------
gcd(a, b)
代码:
func lcm(_ m: Int, _ n: Int) -> Int {
return m / gcd(m, n) * n
}
在playground中测试:
lcm(10, 8) // 40
您可能不需要在任何实际问题中使用GCD或LCM,但是使用这种古老的算法很酷。 它首先由欧几里德在公元前300年左右他的书籍元素中描述。 有传言说他在攻击他的Commodore 64时,发现了这个算法。
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