学术散文之十七
经济引力与广义相对论
杨英锐
有学生问爱因斯坦广义相对论与经济学如何联系。这个工作是杨英锐在2012年完成的，在其《经济力学现代原理》一书（英文）第六章中有详细介绍。有五个要点，简述如下。
第一，福利经济学中有一个基础性的概念叫“帕累托效率”，说是社会幅利达到这样一个理想状态，以到无法再提高任何一个人的幅利水平而同时不降低其他人的幅利水平。帕累托效率的概念与公平无关。在此状态下，个体福利可以两两不同，甚至穷者更穷，富者更富。考虑到个体差异，背景空间就不再适用一般的平直空间而要引入弯曲空间。这是与广义相对论联系的起点。
第二，把帕累托效率状态下所有个体幅利水平以任意方式连成线，就得到一条曲线（不唯一）。这条曲线我们称之为“帕累托路径”。在帕累托路径每一点取其切向量以反映每个个体的幅利改进倾向。这些切向量的方向当然一般两两不同。可是，由于受帕累托效率约束，每个切向量的长度都只能为零。这种向量数学上称为“退缩向量”（isovector)。假设所有退缩向量都是拟平行的，帕累托路径就成为最短径，即测地线。也就是说，经济学中的帕累托效率是以广义相对论中的测地线来刻画的。
第三，帕累托效率只是一种理想状态。在现实幅利经济中，每个个体的幅利水平都应会有浮动空间，这在经济学中叫“帕累托改进”。帕累托改进反映的是现实个体幅利浮动与帕累托路径即测地线的差距，用费曼的通俗解释，这个差就称为“曲率”。在广义相对论中，引力就是用曲率来定义的，称为引力的几何定义。注意，在牛顿力学中，引力是用加速度定义的，称为引力的代数定义。
第四，广义相对论的概念基石之一是爱因斯坦的“等效原理”。这有二层意思。牛顿力学中原来就有一个公式：
加速度=（惯性质量/引力质量）X 曲率
粗略的说，这里的曲率就是引力场密度的几何称谓。爱因斯坦看这公式不顺眼，一时又说不出它错在哪儿，为此烦恼了好几年。据说直到他有一天临睡前，一拍脑袋顿悟到：虽然惯性质量和引力质量是二回事，但在人们的日常感知中是等效的。这是等效原理的第一层意思，物理学书里常用乘电梯和自由落体做例子。在杨英锐普通理性理论中，用决策论语言说话，平常过日子（acting)与空决策（taking an null action)的区别是难以观测的，虽然二者不同。在经济学的语境中，比如酷夏你带孩子逛街，天太热，你们走进一家商场假装买东西，其实是躲进去享受冷气凉快一会。另有一个顾客本来进商场是真有意买东西，犹豫来犹豫去，嫌贵又走了。二者心智不同，行为上却看不出区别，可视为“等效”。
等效原理的第二层意思是，既然惯性质量和引力质量等效，其比可取为1，如此上面公式右边括号中的项就可以消去了。这样就成就了爱因斯坦的威名：加速度=曲率，即引力的代数表示和几何表示是等价的。在经济学的语境中，因为穷（或因为富）而更努力（或减少努力），或反来说也对。这里穷是正曲率，富是负曲率；而更努力是加速度为正，减少努力是加速度为负。
第五，福利空间不是平直空间，而是弯曲空间。人生而不平等，用数学语言说是弯曲空间凹凸不平，是物理学语言说是一个物理场各向异性。在弯曲空间中，不能再用我们习惯了的笛卡尔平直坐标系，也没有了无限延伸的平直坐标轴。这就需要在每一点的小邻域上建立局域标架，还要说明局域标架间是如何“联络”，怎样“平行移动”。这就要求进一步建立“协变导数”的概念。这就是爱因斯坦当时经数年努力寻找之学习之的数学，叫做黎曼几何，是广义相对论的数学基础。这些内容，在杨英锐经济力学中都有相应处理，如何从一个个体的“小算盘”转换到另一个个体的“小算盘”，还要规范此变换使其保持局域对称，超出随笔的局限，此处略去不说了。
此文本应篇幅再长些，以使内容更丰富，叙述更细腻，文字更生动。可是最近太忙，只能糊弄自己说，短有短的好处。
（2020-1-25，初稿）
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