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2019-05-13

2019-05-13

作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2019-05-13 16:05 被阅读0次
  • 相似于对角阵的条件
  • A\sim \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n\\ \end{pmatrix} = P^{-1}AP
  • P = \{\xi_1,...,\xi_n\}可逆 \iff \xi_1,...,\xi_n线性无关
  • P^{-1}AP = \Lambda \iff AP = PA
  • (A\xi_1,...,A\xi_n) = (\lambda_1\xi_1,...,\lambda_n\xi_n)
  • 定理1，设A为n阶矩阵，则A相似于对角矩阵\iffA有n个线性无关的特征向量
  • 定理2，设\lambda_1,\lambda_2为A的两个不同的特征值，\lambda_1有线性无关的特征向量\alpha_1,...,\alpha_s，\lambda_2有线性无关的特征向量\beta_1,...,\beta_t，则\alpha_1,...,\alpha_s，\beta_1,...,\beta_t线性无关。
  • 一般设|\lambda E-A| = (\lambda-\lambda_1)^{c_1}...(\lambda-\lambda_s)^{c_s}，\lambda_1,...,\lambda_s互异，\lambda_i有线性无关的特征向量\alpha_{i1},...,\alpha_{ir_i}.i = 1,...,s,则\alpha_{11},...,\alpha_{1r_1},...,\alpha_{s1},...,\alpha_{sr_s}线性无关。
  • 设\lambda_1,\lambda_2是A的两个不同的特征值，\alpha_1,\beta_1是对应的特征向量，则\alpha_1,\beta_1线性无关。
  • 推论2 ，设n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A相似于对角矩阵。
  • 定理3，设n阶矩阵A的特征多项式，|\lambda E-A| = (\lambda-\lambda_1)^{c_1}...(\lambda-\lambda_s)^{c_s}，\lambda_1,...,\lambda_s，\lambda_i有线性无关的特征向量\alpha_{i1},...,\alpha_{ir_i}.i = 1,...,s，则A相似于对角矩阵\iff,r_i = c_i, \forall i ,r_i = c_i(c_i>1),n-r(\lambda_iE-A) = c_i(c_i>1)
  • 相似对角化与方阵的幂
  • P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n\\ \end{pmatrix}
  • A = P\Lambda P^{-1}
  • A^{s} =( P\Lambda P^{-1}) ^s = P\Lambda^sP^{-1} = P\begin{pmatrix} \lambda_1^s & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2^s & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n^s\\ \end{pmatrix} P^{-1}
  • A\sim B \implies trA = trB,|A| = |B|

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