神经网络实践之梯度检验

作者: 此间不留白 | 来源:发表于2019-10-20 20:29 被阅读0次

神经网络实践之梯度检验
梯度检验
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神经网络04

前言

在机器学习的应用层面中，学习了神经网络中梯度检验的相关知识，本篇文章，将会用python实现梯度检验并将其应用至神经网络模型中。

梯度检验

导数的定义公式如下所示：
$\frac{\partial J}{\partial \theta} = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{J(\theta + \varepsilon) - J(\theta - \varepsilon)}{2 \varepsilon} \tag{1}$

其中 $J$ 代表神经网络的损失函数，而 $\theta$ 表示网络得权重参数，梯度检验就是判断通过公式(1)计算的梯度是否小于特定值，从而判断神经网络的bug的位置。

1维梯度检验

对于一维模型，损失函数的计算可以用 $J = \theta x$ ， $x$ 表示输入数据， $\theta$ 表示网络参数，是一个实数值。一维模型的梯度检验过程可以用下图表示：

根据以上公式，梯度检验可以分为两个步骤，通过前向传播计算 $J$ ，通过反向传播计算梯度，具体实现代码如下所示：

前向传播实现


def forward_propagation(x, theta):
    J = None
    return J

反向传播实现
反向传播，需要对 $\theta$ 求导，对于一维模型而言，反向传播的求导公式是: $\frac{\partial J}{\partial \theta} = x \tag{2}$

反向传播的代码实现如下：

def backward_propagation(x, theta):
  dtheta = x
  return dtheta

梯度检验的过程可以分为以下3个步骤：

利用公式（1）计算gradapprox
利用公式（3）计算gradapprox与反向传播求得的梯度相比较

$difference = \frac {\mid\mid grad - gradapprox \mid\mid_2}{\mid\mid grad \mid\mid_2 + \mid\mid gradapprox \mid\mid_2} \tag{3}$

如果两者之间的差值小于 $10^{-7}$ ，则说明神经网络没有bug.

实现代码如下所示：


def gradient_check(x, theta, epsilon = 1e-7):
   
    thetaplus = theta+1e-7                         
    thetaminus = theta-1e-7                          
    J_plus = forward_propagation(x,thetaplus)                                 
    J_minus = forward_propagation(x,thetaminus)                                 
    gradapprox = (J_plus+J_minus)/2*epsilon
     grad = backward_propagation(x,theta)
 
    numerator = np.linalg.norm(grad-gradapprox)                            
    denominator = np.linalg.norm(grad)+np.linalg.norm(gradapprox)                             
    difference = np.abs(numerator-denominator)                            
  
    if difference < 1e-7:
        print ("The gradient is correct!")
    else:
        print ("The gradient is wrong!")
    
    return difference

多维梯度检查

多维梯度检查的总体实现可以如下图所示：

2.PNG

根据上图所示，实现前向传播函数的代码如下所示“


def forward_propagation_n(X, Y, parameters):
    
    Implements the forward propagation (and computes the cost) presented in Figure 3.
    
  参数：
    X -- 训练集中的m个样本
    Y -- m个样本的样本输出
    参数字典:
                    W1 -- (5, 4)的权重矩阵
                    b1 --  (5, 1)的偏置矩阵
                    W2 --  (3, 5)的权重矩阵
                    b2 -- (3, 1)的偏置矩阵
                    W3 -- (1, 3)的权重矩阵
                    b3 -- (1, 1)的偏置矩阵
    
    
    m = X.shape[1]
    W1 = parameters["W1"]
    b1 = parameters["b1"]
    W2 = parameters["W2"]
    b2 = parameters["b2"]
    W3 = parameters["W3"]
    b3 = parameters["b3"]

    # LINEAR -> RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID
    Z1 = np.dot(W1, X) + b1
    A1 = relu(Z1)
    Z2 = np.dot(W2, A1) + b2
    A2 = relu(Z2)
    Z3 = np.dot(W3, A2) + b3
    A3 = sigmoid(Z3)

    # Cost
    logprobs = np.multiply(-np.log(A3),Y) + np.multiply(-np.log(1 - A3), 1 - Y)
    cost = 1./m * np.sum(logprobs)
    
    cache = (Z1, A1, W1, b1, Z2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3)
    
    return cost, cache

反向传播的实现如下所示：

def backward_propagation_n(X, Y, cache):

   
    m = X.shape[1]
    (Z1, A1, W1, b1, Z2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3) = cache
    
    dZ3 = A3 - Y
    dW3 = 1./m * np.dot(dZ3, A2.T)
    db3 = 1./m * np.sum(dZ3, axis=1, keepdims = True)
    
    dA2 = np.dot(W3.T, dZ3)
    dZ2 = np.multiply(dA2, np.int64(A2 > 0))
    dW2 = 1./m * np.dot(dZ2, A1.T) * 2
    db2 = 1./m * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims = True)
    
    dA1 = np.dot(W2.T, dZ2)
    dZ1 = np.multiply(dA1, np.int64(A1 > 0))
    dW1 = 1./m * np.dot(dZ1, X.T)
    db1 = 4./m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims = True)
    
    gradients = {"dZ3": dZ3, "dW3": dW3, "db3": db3,
                 "dA2": dA2, "dZ2": dZ2, "dW2": dW2, "db2": db2,
                 "dA1": dA1, "dZ1": dZ1, "dW1": dW1, "db1": db1}
    
    return gradients

与一维模型相比，此时的参数不再是一个实数，而是一个向量，这个参数向量 $\theta$ 是神经网络的所有参数组成的一维向量，转换形式如下所示：

将参数字典转化成向量的实现代码如下所示：


def dictionary_to_vector(parameters):
    """
    Roll all our parameters dictionary into a single vector satisfying our specific required shape.
    """
    keys = []
    count = 0

    for key in ["W1", "b1", "W2", "b2", "W3", "b3"]:
        
      
        new_vector = np.reshape(parameters[key], (-1,1))
        keys = keys + [key]*new_vector.shape[0]
        
        if count == 0:
            theta = new_vector
        else:
            theta = np.concatenate((theta, new_vector), axis=0)
        count = count + 1

    return theta, keys


def gradients_to_vector(gradients):
    """
    Roll all our gradients dictionary into a single vector satisfying our specific required shape.
    """
    
    count = 0
    for key in ["dW1", "db1", "dW2", "db2", "dW3", "db3"]:
        # flatten parameter
        new_vector = np.reshape(gradients[key], (-1,1))
        
        if count == 0:
            theta = new_vector
        else:
            theta = np.concatenate((theta, new_vector), axis=0)
        count = count + 1

    return theta

与一维相比，多维神经网络需要对参数向量 $\theta$ 的每一个值进行梯度检验，具体实现公式如下所示：
$d\theta_{approx}[i] = \frac{J(\theta_1,\theta_2,…\theta_i+\epsilon…)-J(\theta_1,\theta_2,…\theta_i-\epsilon…)}{2\epsilon} \tag{4}$

$\epsilon =\frac{||d\theta_{approx[i]} - d\theta_i||_2}{||d\theta_{approx[i]} + d\theta_i||_2} \tag{5}$

根据以上公式，梯度检验的实现代码如下所示：


def gradient_check_n(parameters, gradients, X, Y, epsilon = 1e-7):
  
    

    parameters_values, _ = dictionary_to_vector(parameters)
    grad = gradients_to_vector(gradients)
    num_parameters = parameters_values.shape[0]
    J_plus = np.zeros((num_parameters, 1))
    J_minus = np.zeros((num_parameters, 1))
    gradapprox = np.zeros((num_parameters, 1))
    
    
    for i in range(num_parameters):
        
        
        thetaplus = np.copy(parameters_values)                                     
        thetaplus[i][0] = thetaplus[i]+epsilon                              
        J_plus[i], _ = forward_propagation_n(X,Y,vector_to_dictionary(thetaplus))                                   
        thetaminus = np.copy(parameters_values)                                     
        thetaminus[i][0] = thetaminus[i]-epsilon                             
        J_minus[i], _ = forward_propagation_n(X,Y,vector_to_dictionary(thetaminus))                                  
     
        gradapprox[i] = (J_plus[i]-J_minus[i])/(2*epsilon)
     
    numerator = np.linalg.norm(grad-gradapprox)                                           
    denominator = np.linalg.norm(grad)+np.linalg.norm(gradapprox)                                         
    difference = numerator/denominator                                    

    if difference > 1e-7:
        print ("\033[93m" + "There is a mistake in the backward propagation! difference = " + str(difference) + "\033[0m")
    else:
        print ("\033[92m" + "Your backward propagation works perfectly fine! difference = " + str(difference) + "\033[0m")
    
    return difference

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