美文网首页
三门问题图解

三门问题图解

作者: 郭叶军 | 来源:发表于2021-02-12 11:55 被阅读0次

    前段时间在一个帖子中看到三门问题的讨论,总觉得各种方法不是很直观,试着重新整理了一下,一直没有时间写出来,终于这两天可以写一下了。采用图解的方法,尽量的可以符合直觉。

    1. 问题描述

    三门问题(Monty Hall problem)亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论,大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔(Monty Hall)。参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门可赢得该汽车,另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是:换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率。如果严格按照上述的条件,那么答案是会。不换门的话,赢得汽车的几率是1/3。换门的话,赢得汽车的几率是2/3。虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾,但十分违反直觉。引自 https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%89%E9%97%A8%E9%97%AE%E9%A2%98

    2. 先来看另一个简单例子

    在讨论三门问题的时候,可能会把自己绕晕,所以,我们先看另外一个简单的例子,非常的直截了当,一旦在后面觉得有点晕的时候,就回来看一下这个例子,找到锚点,重整思路。

    这个简单例子是关于某处的堵车可能性,当我们无法直接得到这个概率的时候,遵循将复杂问题分解为简单问题的原则,我们可以考虑分情况考虑,比如晴天、阴天和雨天分别情况下的堵车概率(假设天气只分成这三种情况,而且假设这样的概率容易得到,只是个例子而已),结合这三种天气出现的概率,就可以得到最终的概率。如下图所示,


    图1

    上图表示,此处的晴天可能性有1/2,阴天可能性是1/3,而雨天的概率是1/6,显然三者相加总和为1。在晴天条件下的堵车概率是1/5,在晴天条件下的不堵的概率是4/5。同样的,在阴天和雨天条件下的相应概率也如图所示,比如雨天是百分百堵车,不再赘述。根据这些条件,我们可以计算得到最终的堵车概率是:1/2 x 1/5 + 1/3 x 1/4 + 1/6 x 1 = 35%,同样方法可以计算得到不堵车的概率是65%。

    复习一下数学知识,假如用P来表示某事发生的概率,那么晴天概率是1/2就可以表示为 P(晴天) = 1/2;而晴天条件下的堵车概率是1/5,就可以用 P(堵车 | 晴天) = 1/5 来表示,这被称为条件概率,就是在某个条件出现的情况下某事发生的概率。而 P(晴天) x P(堵车 | 晴天) = 1/2 x 1/5 = 1/10,表示的则是联合概率,即晴天和堵车同时发生的概率,用 P(堵车∩晴天) 来表示。顺带说明一下,这里的堵车和晴天不是两个独立事件,因为是否晴天会影响堵车的概率,两者会相互影响。

    最终的堵车概率是P(堵车) = P(晴天) x P(堵车 | 晴天) + P(阴天) x P(堵车 | 阴天) + P(雨天) x P(堵车 | 雨天) = 1/2 x 4/5 + 1/3 x 1/4 + 1/6 x 1 = 35%。这就是全概率公式,就是考虑了所有情况后的全部概率,形式上,我们还可以用 P(堵车 | 所有情况) 来理解。这个公式符合我们的直觉。

    3. 回到三门问题

    为了讨论方便,我们不妨将这三扇门分别编号为A、B和C。接下去,按时间顺序,依次讨论。

    3.1 参赛者第一次选择

    首先,我们要假设参赛者在第一次选择的时候,没有任何先验知识可以参考,也就是说,他不掌握任何辅助选择的有效信息,所以,我们可以认为这是个随机选择,即,参赛者选中任一扇门的可能性都是相等的,都是1/3。所以,如下图示。


    图2

    3.2 主持人的选择

    主持人只有在知道三个门后面都是什么的前提下,才能做出选择。所以,我们这里就要假设车子到底在哪个门后面,不妨假设车子在A门后。此时,马上有个疑问,那如果车子不在A门后面呢,还要假设其他情况吗?答案是不需要,因为这个假设具有一般性。理由就是全概率公式了,因为,可以分成三种情况,分别是车子在A门、B门和C门后,当我们得到车子在A门后的条件下的概率是a的话,因为参赛者是随机选择,那么其他两种情况的概率也是a,所以,根据全概率公式,总的概率就是 1/3 x a + 1/3 x a + 1/3 x a = a。所以,假设车子在A门后面,分析得到的结果,就是最终结果。

    此时,主持人选择的可能性如下图示。如果参赛者第一次选了A门,那么主持人可能会随意的打开B门或者C门,不妨记可能性为m和1-m。如果参赛者第一次选了B门的话,那么,主持人选择A门打开的可能性为0,只能打开C门,所以其可能性为1。如果参赛者选了C门的条件下,主持人只能打开B门。


    图3

    一旦出现了概率为0的箭头,这就意味着这种情况不会发生,后续的可能性都不会再从这种情况衍生,所以,我们可以将上图简化为如下所示。如果心有疑虑的话,可以先留着,后面会发现0概率一旦出现,就无法继续延伸新的可能情况了。


    图4

    3.3 参赛者的第二次选择

    根据节目描述,参赛者的第二次选择,有两种方案,一是维持原先的选择,二是更改选择,我们接下来探讨这两种方案的概率分别是多少。

    3.3.1 维持原先选择

    既然参赛者维持原先选择,所以,此时图中新加事情的可能性都是100%,如下图所示。


    图5

    根据全概率公式,参赛者选中车(即选择A门)的概率是:
    1/3 x m x 1 + 1/3 x (1-m) x 1 = 1/3

    3.2 更改选择

    因为一共就三个门,更改选择的话,也只有唯一的选择,所以,此时图中新加事情的可能性也是100%,如下图所示。


    图6

    根据全概率公式,参赛者选中车(即选择A门)的概率是:
    1/3 x 1 x 1 + 1/3 x 1 x 1 = 2/3

    3.3 所以,结论就是更改选择可以提高概率

    因为 2/3 大于 1/3

    4. 还有一个问题,二选一的50%概率在哪里?

    假如,在主持人打开一扇门后,新来一个参赛者,他面对剩下的两扇门做随机选择,显然,他选中A门的概率是50%,而前面的分析知道维持选择和更改选择的概率分别是1/3和2/3,那么,这两个数字和50%是怎么联系起来的呢?

    我们再画个图,把新参赛者的选择画上去,因为是随机选择,所以新加箭头的可能性都标注了1/2。


    图7

    所以,新参赛者选中车(即选择A门)的概率是:
    1/3 x m x 1/2 + 1/3 x (1-m) x 1/2 + 1/3 x 1 x 1/2 + 1/3 x 1 x 1/2 = 50%

    换个角度解释,仔细观察最后三张图片,其区别在于最后一列,可以看出,图7其实是图6和图5的组合,将原本的一个箭头的100%,组合成了各是1/2的两个箭头。换句话说,新参赛者的选择,有1/2的可能性和原参赛者维持选择的结果一样,还有1/2的可能性和原参赛者更改选择的结果一样,那么,根据全概率公式:
    1/2 x 1/3 (原参赛者维持选择,选中车的概率) + 1/2 x 2/3 (原参赛者更改选择,选中车的概率) = 50%

    所以,1/3、2/3和50%这三个概率值都是符合直觉,自在的统一在了一起。

    以上内容是本人业余时间兴趣之作,限于水平,差错难免,仅代表个人观点,和本人任职公司无关。

    本文首发于微信公共号:那遁去的一

    相关文章

      网友评论

          本文标题:三门问题图解

          本文链接:https://www.haomeiwen.com/subject/ibvdxltx.html