Least Angle Regression

作者: 馒头and花卷 | 来源:发表于2019-05-23 11:31 被阅读0次

Least Angle Regression
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Efron B, Hastie T, Johnstone I M, et al. Least angle regression[J]. Annals of Statistics, 2004, 32(2): 407-499.

引

在回归分析中，我们常常需要选取部分特征，而不是全都要，所以有前向法，后退法之类的，再根据一些指标设置停止准则。作者提出了一种LARS的算法，能够在有限步迭代后获得很好的结果，而且这种算法能够和LASSO和stagewise结合，加速他们的算法。在我看来，更为重要的是，其背后的几何解释。

可惜的是，证明实在太多，这方面的只是现在也不想去回顾了，就只能孤陋地把一些简单的东西记一下了。

一些基本的假设

在这里插入图片描述
上表，是作者进行比较实验的数据集，注意上面的符号：
令表示变量集，以表示其中的第ij个元素，即第i个病人的第j个指标，用表示第i个协变量，就是矩阵的第i列，用来表示应变量，且假设(事实上进行预处理，标准化）：

在这里插入图片描述
线性回归，其系数假设为,给出预测向量，则：

均方误差为：

用 $T(\beta)$ 表示 $\beta$ 的 $\ell_1$ 范数：
$T(\beta) = \sum \limits_{j=1}^m |\beta_j|.$
那么，Lasso通过下式求解：

在这里插入图片描述
而Forward Stagewise，以开始，令：

在这里插入图片描述
表示当前X与的关系，其中表示的转置。
下一步，前进法选择当前关系中最大的部分：

在这里插入图片描述
注意到:

所以，如果，那么，这个时候，stagewise就成了普通的前进法了，这个方法是过拟合的（不懂啊，照本宣科，所以改怎么选，我也不知道啊）。

文章给了俩种方法的一个比较：

在这里插入图片描述

俩个的效果是差不多的，但是，需要注意的是，这俩种方法的迭代次数是不定的。

LARS算法

在这里插入图片描述

我们从2个特征开始讨论， $\bar{y}$ 是 $y$ 在 $x_1, x_2$ 子空间的投影，以 $\hat{\mu}_0=0$ 为起点，此时 $\bar{y}_2$ 与 $x_1$ 的角度更加小(以锐角为准），所以， $\hat{\mu}_1=\gamma x_1$ ，相当于我们选取了特征 $x_1$ , 也就是说 $\beta_1=\gamma$ 。
现在的问题是， $\gamma$ 该怎么选呢，LARS是这么选的， $\gamma$ 使得 $\bar{y}_2-\hat{\mu}_1$ 与 $x_1, x_2$ 的角度相等，因为这个点俩个特征的重要性是一致的。接着 $\hat{\mu}_2=\hat{\mu}_1+\gamma_2 u_2$ , $\gamma_2u_2=\bar{y}_2-\hat{\mu}_1$ 。
这么做，我们将 $y$ 在子空间中的投影 $\bar{y}_2$ 抵消了。

为了将这种思想推广到更多特征，需要介绍一些符号和公式。

在这里插入图片描述
注意，公式(2.6)中的。

假设 $\widehat{\mu}_{\mathcal{A}}$ 是当前的LARS的估计，那么：

在这里插入图片描述
指示集是由下式定义的：

在这里插入图片描述
令：

在这里插入图片描述
注意，这样子，就能令
用依照上面定义，令：

在这里插入图片描述
于是，下一步的更新为：

在这里插入图片描述
现在的问题是应该怎么选，我们先来考察:

在这里插入图片描述
所以，对于, 的变换程度是一致的：

在这里插入图片描述
,(后者是公式所得，前者是为了减少相关度所必须的)，所以，当从0开始慢慢增大的时候，也会慢慢变小，到一定程度，势必会有, 使得，换句话说，我们只要找到的最小,且，否则，：

总结来说，就是:

在这里插入图片描述
其中表示，如果后半部分的结果均小于0，那么。
这么做，我们就将一直降，降到有一个和他们一样，假设这个为,于是下一步更新的时候，我们需要将这个加入到,。

假设在LARS的第k步：

在这里插入图片描述
用和是第k步的类似的定义，注意，我们省略了。
用来表示在子空间的投影，既然（因为起点为0），所以：

在这里插入图片描述
第一个等式后的第二项是在子空间中的投影，第二个等式从(2.6)可以推得：

又根据(2.18）便可得证。根据(2.19)可得：

在这里插入图片描述
又：

在这里插入图片描述
这说明，每一次更新时，变化的向量时沿着的。
我们通过一个图片来展示：

在这里插入图片描述
上图，我们要处理的时，在以及处理的基础上，我们看到，最后变化的量是在方向上。

算法

顺便整理下算法吧，以便以后用，符号就用自己的了：

Input: 标准化后的 $X = [x_1, x_2, \ldots, x_m]$ 和 $y=[y_1, \ldots, y_n]^T$ , 特征数 $r$ ;
令： $\mu_{\mathcal{A}}=0, \beta=[0, 0, \ldots, 0] \in \mathbb{R}^m$ ;
计算 $c = X^Ty$ , 找出其中绝对值最大的元素，令其指标集为 $\mathcal{A}$ ,最大值为 $C$ ，令
$X_{\mathcal{A}}=[\ldots, s_j x_j, \ldots]_{j \in \mathcal{A}}$ , $\mathcal{G_A}=X_{\mathcal{A}}^TX_{\mathcal{A}}, A_{\mathcal{A}}=(1_\mathcal{A}^T\mathcal{G_A}^{-1}1_{\mathcal{A}})^{-1/2}$ , $\mathrm{u}_{\mathcal{A}}=X_{\mathcal{A}}w_{\mathcal{A}},w_{\mathcal{A}}=A_{\mathcal{A}}\mathcal{G_A}^{-1}1_{\mathcal{A}}$
For $k = 1, 2, \ldots, r$ :
1. 根据公式(2.13)计算 $\widehat{\gamma}$ ,记录相应的 $j$ ,如果 $\widehat{\gamma}=0$ ，停止迭代。
2. $\mu_\mathcal{A}=\mu_{\mathcal{A}}+\widehat{\gamma}\mathrm{u}_{\mathcal{A}}$
3. $\beta = \beta+\widehat{\gamma}w_{\mathcal{A}}\otimes s_{\mathcal{A}}$
4. 更新 $\mathcal{A}=\mathcal{A} \cup \{j\}$ , $C=C-\widehat{\gamma}A_{\mathcal{A}}$ , $c=X^T(y-\mu_\mathcal{A})$
5. 更新 $X_{\mathcal{A}},\mathcal{G_A}, A_{\mathcal{A}}, \mathrm{u}_{\mathcal{A}}$
输出： $\beta, \mu_{\mathcal{A}}$

注意，上面的 $w_\mathcal{A}\otimes s_\mathcal{A}$ 表示对于元素相乘, $s_{\mathcal{A}}$ 表示对应的符号。还有，如果 $r=m$ ，那么上面的迭代只能进行到 $r-1$ 步，最后一步可以根据公式(2.19)的分解来，在代码中予以了实现。

不过，利用代码进行实验的时候，发现这俩个好像不大一样

在这里插入图片描述

我感觉没有错。

与别的方法结合

LARS与LASSO的关系

通过对 $\gamma$ 的调整，利用LARS也能求解LASSO，证明并没有去看。

可以证明，如果 $\widehat{\beta}$ 是通过LASSO求得的解，那么：

在这里插入图片描述

令 $d_j = s_jw_{\mathcal{A}j}, j\in \mathcal{A}$ ,那么对于任意的 $j \in \mathcal{A}$ ：

在这里插入图片描述
因此，改变符号发生在：

在这里插入图片描述
第一次改变符号发生在：

在这里插入图片描述
如果，所有的均小于0，那么。
也就是说，如果，为了使得和符号保持一致，我们应当选择前者作为此次的更新步长，同时将从中移除。

在这里插入图片描述

LARS 与 Stagewise

在这里插入图片描述

代码








import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

class LARS_LASSO:

    def __init__(self, data, response):
        self.__data = data
        self.__response = response
        self.n, self.m = self.data.shape
        self.mu = np.zeros(self.n, dtype=float)
        self.beta = np.zeros(self.m, dtype=float)
        self.compute_c()
        self.compute_index()
        self.compute_basic()
        self.progress_beta = []
        self.progress_mu = []


    @property
    def data(self):
        return self.__data

    @property
    def response(self):
        return self.__response

    def compute_c(self):
        """计算关系度c"""
        self.c = self.data.T @ (self.response-self.mu)

    def compute_index(self):
        """找出最大值C和指标集A，以及sj"""
        self.index = [np.argmax(np.abs(self.c))]
        newc = self.c[self.index]
        self.maxC = np.abs(newc[0])
        sign = lambda x: 1. if x >= 0 else -1.
        self.s = np.array(
            [sign(item) for item in newc],
            dtype=float
        )

    def compute_basic(self):
        """计算一些基本的东西
        index_A: A_A
        index_w: w_A
        index_u: u_A
        """
        index_X = self.data[:, self.index] * self.s
        index_G = index_X.T @ index_X
        index_G_inv = np.linalg.inv(index_G)
        self.index_A = 1 / np.sqrt(np.sum(index_G_inv))
        self.index_w = np.sum(index_G_inv, 1) * self.index_A
        self.index_u = index_X @ self.index_w

    def update_c(self):
        """更新c"""
        self.compute_c()

    def update_index(self, j):
        """更新指示集合
        index:  指示集合A
        maxC: 最大的c
        s: 符号
        """
        if j in self.index:
            self.index.remove(j)
        else:
            self.index.append(j)
            self.index.sort()
        newc = self.c[self.index]
        self.maxC = np.abs(newc[0])
        sign = lambda x: 1. if x >= 0 else -1.
        self.s = np.array(
            [sign(item) for item in newc],
            dtype=float
        )

    def update_basic(self):
        """更新基本的东西"""
        self.compute_basic()

    def current_gamma(self):
        """找第一次改变符号的位置"""
        const = 999999999.
        d = self.s * self.index_w
        index_beta = self.beta[self.index]
        z = []
        for i in range(len(d)):
            if -index_beta[i] * d[i] <= 0:
                z.append(const)
            else:
                z.append(-index_beta[i] / d[i])
        z = np.array(z, dtype=float)
        label = np.argmin(z)
        themin = z[label]

        return themin, self.index[label]


    def step(self):
        """操作一步"""
        const = 9999999999.
        def divide(x, y):
            z = []
            for i in range(len(x)):
                if x[i] * y[i] <= 0:
                    z.append(const)
                else:
                    z.append(x[i] / y[i])
            return z

        complement_index = list(set(range(self.m))
                                - set(self.index))
        a = self.data.T @ self.index_u
        complement_a = a[complement_index]
        complement_c = self.c[complement_index]
        index_reduce_a = self.index_A - complement_a
        index_plus_a = self.index_A + complement_a
        maxC_reduce_c = self.maxC - complement_c
        maxc_plus_c = self.maxC + complement_c
        min1 = divide(maxC_reduce_c, index_reduce_a)
        min2 = divide(maxc_plus_c, index_plus_a)
        totalmin = np.array(
            [min1, min2]
        )
        allmin = np.min(totalmin, 0)
        min_beta, label2 = self.current_gamma()
        self.progress_beta.append(np.array(self.beta))
        self.progress_mu.append(np.array(self.mu))
        try:
            label = np.argmin(allmin)
        except ValueError:
            index_X = self.data[:, self.index] * self.s
            index_G = index_X.T @ index_X
            index_G_inv = np.linalg.inv(index_G)
            deltau = index_G_inv @ index_X.T @ (self.response - self.mu)
            self.mu = self.mu + index_X @ deltau
            self.beta = self.beta + deltau * self.s
            return 0
        print(min_beta, allmin[label])
        if min_beta < allmin[label]:
            gamma = min_beta
            j = label2
        else:
            gamma = 0. if allmin[label] == const else allmin[label]
            j = complement_index[label]
        self.mu = self.mu + gamma * self.index_u
        self.beta[self.index] = self.beta[self.index] + (self.s * self.index_w) * gamma
        if self.life == 0:
            return 1
        self.update_c()
        self.update_index(j)
        self.update_basic()
        return 1

    def process(self, r=1):
        self.life = r
        for i in range(r):
            self.life -= 1
            print("step:", i)
            self.step()
        self.progress_beta.append(np.array(self.beta))
        self.progress_mu.append(np.array(self.mu))
        index_X = self.data[:, self.index] * self.s
        index_G = index_X.T @ index_X
        index_G_inv = np.linalg.inv(index_G)
        deltau = index_G_inv @ index_X.T @ (self.response - self.mu)
        self.mu = self.mu + index_X @ deltau
        self.beta[self.index] = self.beta[self.index] + deltau * self.s
        self.progress_beta.append(np.array(self.beta))
        self.progress_mu.append(np.array(self.mu))


    def plot(self):
        """plot beta, error"""
        fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=2,
                               figsize=(10, 5), constrained_layout=True)
        beta = np.array(self.progress_beta)
        mu = np.array(self.progress_mu)
        r, m = beta.shape
        error = np.sum((mu - self.response) ** 2, 1)
        x = np.arange(1, r+1)
        for i in range(m):
            y =  beta[:, i]
            ax[0].plot(x, y, label="feature{0}".format(i))
            ax[0].text(x[-1]+0.05, y[-1], str(i))
        ax[0].set_title(r"$\beta$ with iterations")
        ax[0].set_xlabel(r"iterations")
        ax[0].set_ylabel(r"$\beta$")
        ax[0].legend(loc="best", ncol=2)
        ax[1].plot(x, error)
        ax[1].set_title("square error with iterations")
        ax[1].set_xlabel("iterations")
        ax[1].set_ylabel("square error")
        plt.show()



data1 = np.loadtxt("C:\\Users\\pkavs\\Desktop\\diabetes.txt", dtype=float)
mu = np.mean(data1, 0)
std = np.std(data1, 0)
data1 = (data1 - mu) / std
data = data1[:, :10]
response = data1[:, 10]
test = LARS_LASSO(data, response)
test.process(r=7)
test.plot()
print(test.progress_beta)


"""
跟论文有出路，实验的时候并没有删除的过程，好像是要在
全部特征的基础上，再进行一步，不过机制不想改了，就这样吧
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


class LARS_LASSO:

    def __init__(self, data, response):
        self.__data = data
        self.__response = response
        self.n, self.m = self.data.shape
        self.mu = np.zeros(self.n, dtype=float)
        self.beta = np.zeros(self.m, dtype=float)
        self.compute_c()
        self.compute_index()
        self.compute_basic()
        self.progress_beta = []
        self.progress_mu = []


    @property
    def data(self):
        return self.__data

    @property
    def response(self):
        return self.__response

    def compute_c(self):
        """计算关系度c"""
        self.c = self.data.T @ (self.response-self.mu)

    def compute_index(self):
        """找出最大值C和指标集A，以及sj"""
        self.index = [np.argmax(np.abs(self.c))]
        newc = self.c[self.index]
        self.maxC = np.abs(newc[0])
        sign = lambda x: 1. if x >= 0 else -1.
        self.s = np.array(
            [sign(item) for item in newc],
            dtype=float
        )

    def compute_basic(self):
        """计算一些基本的东西
        index_A: A_A
        index_w: w_A
        index_u: u_A
        """
        index_X = self.data[:, self.index] * self.s
        index_G = index_X.T @ index_X
        index_G_inv = np.linalg.inv(index_G)
        self.index_A = 1 / np.sqrt(np.sum(index_G_inv))
        self.index_w = np.sum(index_G_inv, 1) * self.index_A
        self.index_u = index_X @ self.index_w

    def update_c(self):
        """更新c"""
        self.compute_c()

    def update_index(self, j):
        """更新指示集合
        index:  指示集合A
        maxC: 最大的c
        s: 符号
        """
        if j in self.index:
            self.index.remove(j)
        else:
            self.index.append(j)
            self.index.sort()
        newc = self.c[self.index]
        self.maxC = np.abs(newc[0])
        sign = lambda x: 1. if x >= 0 else -1.
        self.s = np.array(
            [sign(item) for item in newc],
            dtype=float
        )

    def update_basic(self):
        """更新基本的东西"""
        self.compute_basic()

    def current_gamma(self):
        """找第一次改变符号的位置"""
        const = 999999999.
        d = self.s * self.index_w
        index_beta = self.beta[self.index]
        z = []
        for i in range(len(d)):
            if -index_beta[i] * d[i] <= 0:
                z.append(const)
            else:
                z.append(-index_beta[i] / d[i])
        z = np.array(z, dtype=float)
        label = np.argmin(z)
        themin = z[label]

        return themin, self.index[label]


    def step(self):
        """操作一步"""
        const = 9999999999.
        def divide(x, y):
            z = []
            for i in range(len(x)):
                if x[i] * y[i] <= 0:
                    z.append(const)
                else:
                    z.append(x[i] / y[i])
            return z

        complement_index = list(set(range(self.m))
                                - set(self.index))
        a = self.data.T @ self.index_u
        complement_a = a[complement_index]
        complement_c = self.c[complement_index]
        index_reduce_a = self.index_A - complement_a
        index_plus_a = self.index_A + complement_a
        maxC_reduce_c = self.maxC - complement_c
        maxc_plus_c = self.maxC + complement_c
        min1 = divide(maxC_reduce_c, index_reduce_a)
        min2 = divide(maxc_plus_c, index_plus_a)
        totalmin = np.array(
            [min1, min2]
        )
        allmin = np.min(totalmin, 0)
        min_beta, label2 = self.current_gamma()
        print(len(self.progress_beta))
        self.progress_beta.append(np.array(self.beta))
        self.progress_mu.append(np.array(self.mu))
        try:
            label = np.argmin(allmin)
        except ValueError:
            index_X = self.data[:, self.index] * self.s
            index_G = index_X.T @ index_X
            index_G_inv = np.linalg.inv(index_G)
            deltau = index_G_inv @ index_X.T @ (self.response - self.mu)
            self.mu = self.mu + index_X @ deltau
            self.beta = self.beta + deltau * self.s
            return 0
        if min_beta < allmin[label]:
            gamma = min_beta
            label = label2
        else:
            gamma = 0. if allmin[label] == const else allmin[label]
        self.mu = self.mu + gamma * self.index_u
        self.beta[self.index] = self.beta[self.index] + (self.s * self.index_w) * gamma
        if self.life == 0:
            return 1
        j = complement_index[label]
        self.update_c()
        self.update_index(j)
        self.update_basic()
        return 1

    def process(self, r=1):
        self.life = r
        for i in range(r):
            self.life -= 1
            print("step:", i)
            self.step()
        self.progress_beta.append(np.array(self.beta))
        self.progress_mu.append(np.array(self.mu))
        index_X = self.data[:, self.index] * self.s
        index_G = index_X.T @ index_X
        index_G_inv = np.linalg.inv(index_G)
        deltau = index_G_inv @ index_X.T @ (self.response - self.mu)
        self.mu = self.mu + index_X @ deltau
        self.beta[self.index] = self.beta[self.index] + deltau * self.s
        self.progress_beta.append(np.array(self.beta))
        self.progress_mu.append(np.array(self.mu))

    def plot(self):
        """plot beta, error"""
        fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=2,
                               figsize=(10, 5), constrained_layout=True)
        beta = np.array(self.progress_beta)
        mu = np.array(self.progress_mu)
        r, m = beta.shape
        error = np.sum((mu - self.response) ** 2, 1)
        x = np.arange(1, r+1)
        for i in range(m):
            y =  beta[:, i]
            ax[0].plot(x, y, label="feature{0}".format(i))
            ax[0].text(x[-1]+0.05, y[-1], str(i))
        ax[0].set_title(r"$\beta$ with iterations")
        ax[0].set_xlabel(r"iterations")
        ax[0].set_ylabel(r"$\beta$")
        ax[0].legend(loc="best", ncol=2)
        ax[1].plot(x, error)
        ax[1].set_title("square error with iterations")
        ax[1].set_xlabel("iterations")
        ax[1].set_ylabel("square error")
        plt.show()

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引

一些基本的假设

LARS算法

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LARS 与 Stagewise

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