进制

1、常用进制

十进制

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从小学开始我们就学习了数数，我们对0~9这十个数字很熟悉。我们管小数点前的第一位叫做个位，每个1代表1，第二位叫做十分位，每个1代表10，第三位叫做百分位，每个1代表100，以此类推，无穷无尽。

我们计一个大于9的整数，就要用到十分位，因为一个位只能容纳从0~9这十个数字，多出来的就需要向高位进1，这种计数方式就是十进制。

我们说的个位，十分位，百分位就是位，在一个位上，每个1代表的数字大小，就是位权，简称权。如果一个数的计数方式是n进制，我们就称n是这个数的基。这个数的大小也就是

其中k是整数部分的总位数，g是小数部分的总位数，D是每一确定位上的值。

拿十进制为例，比如一个数字520.1214

二进制

在计算机内部，数据都是以二进制的形式存储的，二进制是学习编程必须掌握的基础。

用理解十进制的方法，我们可以理解任意进制。

二进制，就是一种只用0和1计数方式，当前位满2就向高位进1，同样，做减法时当前位如果不够减了，就需要向高位借1，高位的1相当于相邻低位的2。

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八进制

八进制用0-7八个数字计数，基数是8，逢8进位，同样，做减法时当前位不够减时，向高位借1，高位的1相当于相邻低位的8。

例如：

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十六进制

十六进制中，用A来表示10，B表示11，C表示12，D表示13，E表示14，F表示15，因此有 0~F 共16个数字，基数为16，加法运算时逢16进1，减法运算时借1当16。例如，数字 0、1、6、9、A、D、F、419、EA32、80A3、BC00 都是有效的十六进制。

需要注意的是，十六进制不区分大小写，也就是说，BC00和bc00是同一个数字。

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2、进制相互转换

1、其它进制转十进制

按照最开始展示的公式，将其它进制转换成十进制很容易。

例如：

• 二进制：1001 = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9（十进制）

• 二进制：101.1001 = 1×22 + 0×21 + 1×20 + 1×2-1 + 0×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0 + 0.0625 = 5.5625（十进制）

• 八进制：302 = 3×82 + 0×81 + 2×80 = 192 + 0 + 2 = 194（十进制）

• 八进制：302.46 = 3×82 + 0×81 + 2×80 + 4×8-1 + 6×8-2 = 192 + 0 + 2 + 0.5 + 0.09375= 194.59375（十进制）

• 十六进制：EA7 = 14×162 + 10×161 + 7×160 = 3751（十进制）

2、十进制转其它进制

整数部分

十进制整数转换为 N 进制整数采用“除 N 取余，逆序排列”法。具体做法是：

• 将 N 作为除数，用十进制整数除以 N，可以得到一个商和余数；

• 保留余数，用商继续除以 N，又得到一个新的商和余数；

• 仍然保留余数，用商继续除以 N，还会得到一个新的商和余数；

• ……

• 如此反复进行，每次都保留余数，用商接着除以 N，直到商为 0 时为止。

把先得到的余数作为 N 进制数的低位数字，后得到的余数作为 N 进制数的高位数字，依次排列起来，就得到了 N 进制数字。

小数部分

十进制小数转换成 N 进制小数采用“乘 N 取整，顺序排列

• 用 N 乘以十进制小数，可以得到一个积，这个积包含了整数部分和小数部分；

• 将积的整数部分取出，再用 N 乘以余下的小数部分，又得到一个新的积；

• 再将积的整数部分取出，继续用 N 乘以余下的小数部分；

• ……

• 如此反复进行，每次都取出整数部分，用 N 接着乘以小数部分，直到积中的小数部分为 0，或者达到所要求的精度为止。

把取出的整数部分按顺序排列起来，先取出的整数作为 N 进制小数的高位数字，后取出的整数作为低位数字，这样就得到了 N 进制小数。

例如：

我们想将一个十进制数字36926转换成八进制，我们将这个数除以8，得商4615余6，这个6就是八进制小数点前的第一位。我们继续将4615除以8，得商576余数7，这个7就是小数点前第二位。以此类推。576继续除以8,得商72余数0，72继续除以8，得商9余数0，9继续除以8，得商1余数1，1继续除以8，得商0余数1.

如此一来，就得到了这个数的八进制表示方式110076。

如果我们想将一个十进制小数0.930908203125转换成八进制，首先将这个数乘8，得到一个数字7.447265625，我们将整数7取出来，它就是八进制的小数点后第一位，将去掉整数7之后的小数0.447265625继续乘8，得到3.578125，整数3是小数点后第二位，继续将小数部分乘8，得4.625，将0.625乘8，得到5，至此小数部分全部乘尽。

如此一来，就得到了这个数得八进制表示方式0.7435

3、为什么这样会是正确的？

为什么这样就能转换呢？基于什么原理呢？我们接下来用一些数学方法来证明它。

【我们把整数和小数分开算，因为其转换规则不同，证明的时候我们也分开证明，如果一个数字既有整数部分，又有小数部分，就将其分开换算，再加一起就可以了。】

整数部分

假设一个十进制整数a，我们将它转换成N进制计数法，假设转换完成后，它整数部分共有k位，每一位上的数值从右往左分别是 ，那么这个数可以写为：

我们要做的就是求出每一位上的。按照前面讲过的方法，将上式除N取余。得

去哪了呢？前面的都是可以被整除的，就成了余数，所以这样我们看到余数的值是多少，就知道小数点前面的第一位数值是多少了。去掉每一步的余数，再除以N。

按照此步骤反复执行，就依次将全都求出来了。

小数部分

假设一个十进制小数a，我们将它转换成N进制计数法，设转换完成后共有k位小数，每一位上的数值从左往右分别是，那么这个数可以表示为：

我们要做的就是求出每一位上的。按照前面讲过的方法，将上式乘N取整。得

可以看到，整数部分就是，我们将整数取出，继续乘N，反复执行，就依次将全都求出来了。

注意，十进制小数转换成其他进制小数时，结果有可能是一个无限位的小数。例如0.51等。
4、二进制、八进制和十六进制的转换方法

以上换算方法适用于所有进制之间的换算，但是这样很麻烦，有时候用更简单的方法。

每三位二进制数字可以转换为一位八进制数字，每四位二进制数字可以转换为一位十六进制数字，所以我们常用一下方法进行转换。

比如我们将一个二进制数字10111100011转换成八进制1343：

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注意，换算时必须始终保持小数点对齐，整数部分不足时在高位补零，当有小数时，小数部分不足时往低位补零。

例如：

二进制数字1011.0111换算成八进制数13.74：

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十六进制与二进制之间的换算道理是一样的，唯一的区别是十六进制的每一位对应二进制的四个位。

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