闭集
定义9: 设是一个距离空间,,若,则称为的闭包点(或接触点)。
定义10: 设是一个距离空间,,的接触点(闭包点)的全体称为的闭包,记为。
定义11:设是一个距离空间,,是闭集当且仅当 。
注:闭集可以理解为:在闭集里极限运算是封闭的。
下确界:一个集合的最大下界;上确界:一个集合的最小上界。
可分的距离空间
背景知识:实数空间中,有理数是稠密的,有理数是可数的。也就是说任何一个实数可以用有理数来逼近。
推广到一般的空间上去
定义14:设,是距离空间中的点集,如果,则称在中稠密。
注意:定义中并没有要求。
也就是说中的每一点都可以用中的点来逼近。逼近是个极限的概念,逼近的意思是无限接近(要多近就有多近)但永远不会相等。
定义17:(可分距离空间)设是距离空间,如果中存在一个可数稠密子集,则称是可分的。
注1:可分空间中的任意一点可通过一个可数集来近似逼近,并且对于。
注2:距离空间是否可分,与空间上距离的定义密切相关。距离定义不同,实际逼近效果不同。
列紧的距离空间
在数学分析中,闭区间上的连续函数有着很好的性质。
- 闭区间满足有限覆盖定理。
- 进一步地,平面上的有界闭集也有这样的性质。
- 我们把具有这样性质的集合,抽象为紧集(紧空间)。
定义23:设是距离空间中的一个子集,如果中的每一个无穷点列都有一个收敛的子列,则称为是列紧的集合,闭的列紧集称为是自列紧集。距离空间称为是列紧的。
注1:自列紧集是有界闭集。
注2:在一般的距离空间中,有界的闭集不一定是列紧的
定理24:中的子集是列紧的当且仅当中的函数(函数一般强调是函数值,映射以后的值)是一致有界和等度连续的。
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