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闭集、可分性、列紧性

闭集、可分性、列紧性

作者: TonnyYan | 来源:发表于2019-11-10 16:25 被阅读0次

    闭集

    定义9:X是一个距离空间,A\subset X,若d(x,a) = \inf_{a \in A} d(x,a) = 0,则称xA闭包点(或接触点)。

    定义10:X是一个距离空间,A\subset XA的接触点(闭包点)的全体称为A闭包,记为\bar A

    定义11:X是一个距离空间,A\subset XA闭集当且仅当A= \bar A

    注:闭集可以理解为:在闭集里极限运算是封闭的。

    下确界:一个集合的最大下界;上确界:一个集合的最小上界。

    可分的距离空间

    背景知识:实数空间中,有理数是稠密的,有理数是可数的。也就是说任何一个实数可以用有理数来逼近。

    推广到一般的空间上去

    定义14:AB是距离空间X中的点集,如果\bar B \supset A,则称BA稠密
    注意:定义中并没有要求B \subset A

    也就是说A中的每一点都可以用B中的点来逼近。逼近是个极限的概念,逼近的意思是无限接近(要多近就有多近)但永远不会相等。

    定义17:(可分距离空间)设X是距离空间,如果X中存在一个可数稠密子集,则称X是可分的。

    注1:可分空间X中的任意一点可通过一个可数集来近似逼近,并且对于\forall \varepsilon > 0,\bigcup\nolimits_{k = 1}^\infty {B\left( {{x_k},\varepsilon } \right) = X}

    注2:距离空间是否可分,与空间上距离的定义密切相关。距离定义不同,实际逼近效果不同。

    列紧的距离空间

    在数学分析中,闭区间上的连续函数有着很好的性质。

    • 闭区间满足有限覆盖定理。
    • 进一步地,平面上的有界闭集也有这样的性质。
    • 我们把具有这样性质的集合,抽象为紧集(紧空间)。

    定义23:A是距离空间X中的一个子集,如果A中的每一个无穷点列都有一个收敛的子列,则称为A列紧的集合,闭的列紧集称为是自列紧集。距离空间X称为是列紧的

    注1:自列紧集是有界闭集。

    注2:在一般的距离空间中,有界的闭集不一定是列紧的

    定理24:C[a,b]中的子集A是列紧的当且仅当A中的函数(函数一般强调是函数值,映射以后的值)是一致有界和等度连续的

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