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简明易懂的广义机电双端口模型

简明易懂的广义机电双端口模型

作者: Never肥宅 | 来源:发表于2020-03-23 19:18 被阅读0次
在这里插入图片描述
之前有描述过单端口元件，这次来看看双端口元件
顾名思义双端口元件就是有两个端口的元件，其输入和输出的功率和应该为0
即
我们常见的例子便是变压器和回相器

变压器：

\begin{bmatrix} e_2 \\ f_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n & 0 \\ 0& -\frac{1}{n} \end{bmatrix} · \begin{bmatrix} e_1 \\ f_1 \end{bmatrix}

n是匝数比，在电子电路里其物理意义是同一磁芯的变压器的次级和初级线圈匝数比值

image.png

e_2 = n \dot e_1
f_2 = -\frac{f_1}{n}
因此有
\frac{e_1}{f_1} = \frac{-1}{n^2} \times \frac{e_2}{f_2}
因此Z_{in} = \frac {e_1}{f_1} = \frac{Z(s)}{n^2}

回相器

\begin{bmatrix} e_2 \\ f_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & n \\ -\frac{1}{n} & 0 \end{bmatrix} · \begin{bmatrix} e_1 \\ f_1 \end{bmatrix}

image.png




因此有

机电双端口接口

一般的机电双端口借口都是线性可逆的换能器元件模型

在这里插入图片描述
其中I和V为电学中的电流和电压，U和F为机械中的速度和力
可以得知描述线性换能器的标准方程
因此可以有电机转换方程
表达式 物理意义
Z_{EB} = \frac{V}{I} \quad U=0 机械阻塞（速度为0）时的电阻抗
Z_{MO} = \frac{F}{U} \quad I=0 电路开路（电流为0）时的机械阻抗
T_{EM} = \frac{V}{U} \quad I=0 电路开路（电流为0）时的电机转数(阻抗)
T_{ME} = \frac{F}{I} \quad U=0 机械阻塞（速度为0）时的机电转数(阻抗)

线性变换系统
假设T_{EM} = T_{ME}
定义\phi = \frac{T_{EM}}{Z_{EB}}
主方程可以变为
\begin{bmatrix} V \\ F \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Z_{EB} & \phi Z_{EB} \\ \phi Z_{EB}& Z_{MO} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I\\U\end{bmatrix}
将其重新展开携程VI和FU的形式，有
\begin{bmatrix} F \\ U \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{Z_{MO}}{\phi Z_{EB}} & (\phi Z_{EB} - \frac{Z_{MO}}{\phi}) \\ \frac{1}{\phi Z_{EB}}& -\frac{1}{\phi} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} V\\I\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{Z_{MO}}{\phi Z_{EB}} & (T_{EM} - \frac{Z_{MO}}{\phi}) \\ \frac{1}{\phi Z_{EB}}& -\frac{1}{\phi} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V\\I\end{bmatrix}

与我们前文提过的变压器模型对比，
\begin{bmatrix} e_2 \\ f_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n & 0 \\ 0& -\frac{1}{n} \end{bmatrix} · \begin{bmatrix} e_1 \\ f_1 \end{bmatrix}

在这里插入图片描述
图中左侧电阻为ZEB，右侧为ZMS，变压器匝数为
此时电路与线性变换器等效。

上图等效电路的证明

V I = F U
设左侧线圈电流为f_1，右侧线圈电流为f_2，左侧线圈电压为e_1，右侧线圈电压为e_2
有
\begin{bmatrix} e_2 \\ f_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \phi & 0 \\ 0& -\frac{1}{\phi} \end{bmatrix} · \begin{bmatrix} e_1 \\ f_1 \end{bmatrix}
e_2、f_2与U、F的关系有
e_2 + f_2 \times Z_{MS} = F
f_2 = U
所以
\begin{bmatrix} F \\ U \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & Z_{MS} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e_2 \\ f_2 \end{bmatrix}
同理，e_1、f_1与V、I的关系有
e_1 = V
f_1 + \frac{e_1}{Z_{EB}}=I
因此有
\begin{bmatrix} V \\I\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{Z_{EB}}& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e_1\\ f_1 \end{bmatrix}
即
\begin{bmatrix} 1 &0 \\ -\frac{1}{Z_{EB}}&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V \\ I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e_1\\ f_1 \end{bmatrix}
所以
\begin{bmatrix} F \\ U \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & Z_{MS} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi & 0 \\ 0& -\frac{1}{\phi} \end{bmatrix} · \begin{bmatrix} e_1 \\ f_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & Z_{MS} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi & 0 \\ 0& -\frac{1}{\phi} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{Z_{EB}}&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V \\ I \end{bmatrix}
即\begin{bmatrix} F \\ U \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \frac{Z_{MO}}{\phi Z_{EB}} & (T_{EM} - \frac{Z_{MO}}{\phi}) \\ \frac{1}{\phi Z_{EB}}& -\frac{1}{\phi} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V\\I\end{bmatrix}

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