《离散数学》的教与学

数学是一种语言。学习数学为了乐趣，也能掌握一种工具。学习数学首先需要选择一本能让你有阅读乐趣的书。从这种意义上看，我从来不推荐中文教材。这不是源自歧视而源自于经验。

《离散数学》的主要内容

先参考一下美国ACM的2016年版CE(计算机工程)的课程计划里面给出的指引：

• Discrete Structures [30 core hours]
• History and overview [1]
• Relevant tools and engineering applications [1]
• Functions, relations, and sets [6]
• Boolean algebra principles [4]
• First-order logic [6]
• Proof techniques [6]
• Basics of counting [2]
• Graph and tree representations and properties [2] Iteration and recursion [2]

另外，一般而言，还会把离散概率的内容归为《离散数学》的内容。

《离散数学》相关课程

稍微归纳一下以上内容，大致上是这些内容或者这些内容的深入解释出自以下几门课程：

• 集合论
• 近世代数（抽象代数）
• 数理逻辑
• 图论
• 具体数学

不能不说，我们很轻易就能获取这几个方向的优秀教材，但是我们能有一本足够优秀的《离散数学》吗？

离散数学的教学原则

首先强调，离散数学的内容是计算机科学领域中广泛应用的数学，特别是一种针对数据结构与算法的数学。

其次，从教学安排上看，可以独立开设《离散数学》课程，也可以让其他课程覆盖以上内容。

第三，《离散数学》的知识必须强调应用。请注意，不是仅仅强调有用，然后让学生等待以后使用，而是在教学中具体展示每一个知识点的某种特定应用，至少对重点的知识点必须如此。

一些思考或者经验

首先，我们需要思考的一个问题就是，在一门课程中覆盖这么多的知识量，会出现什么问题？不难预知，必然是许多知识点得到无法系统覆盖。比如，如果概率论的内容在《离散数学》中讲授，马尔可夫链必然不会被讲授，也许切诺夫界也不会。又比如，群、环、域的内容如果在《离散数学》中覆盖，你能指望可以讲授多少代数的内容呢？或许有人会说，不对啊，如果你需要进一步学习，那么你可以选修《概率论》和《抽象代数》这样的课程啊。没错，前提是，你有机会选。而且还必须考虑，当一种知识只是简单地入门，其起到什么作用？是否可以达到以上强调的“应用”的作用呢？答案估计是否。那么，这样简单入门的课程达到的目标是什么呢？值得思考、探讨。

从这个意义上看，我是极力反对大学生手捧一本经典《离散数学》进行努力学习的，因为效果甚微。因此，作为一个清醒的且能主动学习的大学生，你需要的是知道《离散数学》的知识体系是什么，然后根据自己的实际情况，选修相关的更专门的课程（《概率论》、《组合数学》、《计算理论》），或者选择某些专门领域的经典教材（《代数》、《数理逻辑》、《图论》）进行自习。如果你做不到这一点，那你就只能接受学数学只是为了学而学，只是从理论到理论（其实也没什么理论）的尴尬局面。通常，这种尴尬不是别人说你尴尬，而是一种你自己都感觉得到的尴尬，要改变这种局面，你需要的是改变自己。

小结

在《CC2013--计算机科学的数学要求》一文中提到，不要让学生感觉学习数学过于困难，不要让数学链拉得太长，因此我们必须对不同的同学给不同的学习《离散数学》的建议。

推荐：(Rafael Pass的Discrete Structure课程讲义，简短实用，基本涵括CS2013 中明确要求的数学知识，供大家参考。

2017年6月17日修订