关于原码、反码、补码

一、机器数和真值

1.机器数

• 一个数在计算机中的二进制形式，叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1。

2.真值

• 因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
  例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

二、原码、反码、补码的基础概念和计算方法

• 在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

1.原码

• 原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号位，其余位表示值
  比如：
  若果是八位二进制数，[+1]原 = 0000 0001，[-1]原 = 1000 0001。
  第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:
  [11111111,01111111]，即-127~+127

• 原码是人脑最容易理解的方式

2.反码

• 反码的表示方法为：
  正数的反码是其本身，
  负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变（为1），其余个各位取反

         例如：
         [+1] = [00000001]原 = [00000001]反
         [-1] = [10000001]原 = [11111110]反
  

3.补码

• 补码的表示方法为：
  正数的补码是其自身，
  负数的补码是其反码加1.

  例如：
  [+1] = [000000001]补
  [-1] = [100000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
  

• 对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值

三、为何要使用补码

• 由上述知识可知，负数的原码、反码、补码各不相同，而原码才是被人脑直接识别并用于计算的表示方式，为何还会有反码个补码呢？

• 首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

• 于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

  原码计算十进制的表达式: 1-1=0：
  1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2
  

如果使用原码表示，让符号位也参与运算，显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

• 为了解决原码做减法的问题，出现了反码
  反码计算十进制的表达式：1-1=0：
  1 - 1 = 1 + (-1)=[00000001]反 + [11111110]反 = [11111111]反 = [10000000]
  原 = -0.
  发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.

• 于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:
  1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

• 这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:
  (-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

• -1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

• 使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

• 因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.